MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpostpos Unicode version

Theorem tpostpos 6994
Description: Value of the double transposition for a general class . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos

Proof of Theorem tpostpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 6979 . 2
2 inss2 3718 . . 3
3 relxp 5115 . . 3
4 relss 5095 . . 3
52, 3, 4mp2 9 . 2
6 relcnv 5379 . . . . . . . . 9
7 df-rel 5011 . . . . . . . . 9
86, 7mpbi 208 . . . . . . . 8
9 simpl 457 . . . . . . . 8
108, 9sseldi 3501 . . . . . . 7
11 simpr 461 . . . . . . 7
12 elvv 5063 . . . . . . . . 9
13 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
14 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 15opelcnv 5189 . . . . . . . . . . . . . 14
1713, 16syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13
18 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 opswap 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
2322breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
2417, 23anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
25 opex 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26breldm 5212 . . . . . . . . . . . . . 14
2827pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . . 13
29 brtpos 6983 . . . . . . . . . . . . . 14
3026, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3128, 30bitr3i 251 . . . . . . . . . . . 12
3224, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
33 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
3432, 33bitr4d 256 . . . . . . . . . 10
3534exlimivv 1723 . . . . . . . . 9
3612, 35sylbi 195 . . . . . . . 8
37 iba 503 . . . . . . . 8
3836, 37bitrd 253 . . . . . . 7
3910, 11, 38pm5.21nii 353 . . . . . 6
40 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140sneqd 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . 14
43 cnvsn0 5481 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13
4544unieqd 4259 . . . . . . . . . . . 12
46 uni0 4276 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
4847breq1d 4462 . . . . . . . . . 10
49 brtpos0 6981 . . . . . . . . . . 11
5026, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
5148, 50syl6bb 261 . . . . . . . . 9
5240breq1d 4462 . . . . . . . . 9
5351, 52bitr4d 256 . . . . . . . 8
5453pm5.32i 637 . . . . . . 7
55 ancom 450 . . . . . . 7
5654, 55bitri 249 . . . . . 6
5739, 56orbi12i 521 . . . . 5
58 andir 868 . . . . 5
59 andi 867 . . . . 5
6057, 58, 593bitr4i 277 . . . 4
61 elun 3644 . . . . 5
6261anbi1i 695 . . . 4
63 brxp 5035 . . . . . . 7
6426, 63mpbiran2 919 . . . . . 6
65 elun 3644 . . . . . 6
6664, 65bitri 249 . . . . 5
6766anbi2i 694 . . . 4
6860, 62, 673bitr4i 277 . . 3
69 brtpos2 6980 . . . 4
7026, 69ax-mp 5 . . 3
71 brin 4501 . . 3
7268, 70, 713bitr4i 277 . 2
731, 5, 72eqbrriv 5103 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  Relwrel 5009  tposctpos 6973
This theorem is referenced by:  tpostpos2  6995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-tpos 6974
  Copyright terms: Public domain W3C validator