MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Unicode version

Theorem trcl 7776
Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 7777 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   , ,   , ,
Allowed substitution hints:   ( )   ( , , )   ( )

Proof of Theorem trcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 6460 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5686 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 6805 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2502 . . . . . 6
87eqimssi 3435 . . . . 5
9 fveq2 5685 . . . . . . 7
109sseq2d 3409 . . . . . 6
1110rspcev 3102 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 655 . . . 4
13 ssiun 4222 . . . 4
1412, 13ax-mp 5 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3414 . 2
17 dftr2 4397 . . . 4
18 eliun 4185 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 677 . . . . . . . 8
20 r19.42v 2909 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 245 . . . . . . 7
22 elunii 4106 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3544 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5695 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 6342 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 6344 . . . . . . . . . . . 12
27 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 4109 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3535 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 4109 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3535 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 6809 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 654 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3430 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3380 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 31 . . . . . . . 8
3837reximia 2857 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 189 . . . . . 6
40 peano2 6461 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5685 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2548 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3102 . . . . . . . . . . 11
4443ex 425 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2870 . . . . . . . 8
47 fveq2 5685 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2548 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 2982 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 eliun 4185 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 205 . . . . . 6
5339, 52syl 16 . . . . 5
5453ax-gen 1562 . . . 4
5517, 54mpgbir 1566 . . 3
56 treq 4401 . . . 4
5715, 56ax-mp 5 . . 3
5855, 57mpbir 202 . 2
59 fveq2 5685 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3408 . . . . . . 7
61 fveq2 5685 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3408 . . . . . . 7
63 fveq2 5685 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3408 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2501 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3405 . . . . . . . . 9
6766biimpri 199 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
69 uniss 4122 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4396 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3388 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 542 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3554 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 219 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3408 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 216 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 70 . . . . . . . . 9
8079com23 75 . . . . . . . 8
8180adantld 455 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 6469 . . . . . 6
8382com12 30 . . . . 5
8483ralrimiv 2834 . . . 4
85 fveq2 5685 . . . . . . . 8
8685cbviunv 4219 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2501 . . . . . 6
8887sseq1i 3405 . . . . 5
89 iunss 4221 . . . . 5
9088, 89bitri 242 . . . 4
9184, 90sylibr 205 . . 3
9291ax-gen 1562 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1140 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 939  A.wal 1556  =wceq 1662  e.wcel 1724  A.wral 2751  E.wrex 2752   cvv 3006  u.cun 3351  C_wss 3353   c0 3660  U.cuni 4101  U_ciun 4181  e.cmpt 4360  Trwtr 4395  succsuc 4724  |`cres 4846  `cfv 5417   com 6441  reccrdg 6779
This theorem is referenced by:  tz9.1  7777  tz9.1c  7778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-csb 3314  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-pss 3369  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-tp 3902  df-op 3903  df-uni 4102  df-iun 4183  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-tr 4396  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-om 6442  df-recs 6745  df-rdg 6780
  Copyright terms: Public domain W3C validator