Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Unicode version

Theorem trcl 7831
 Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 7832 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem trcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 6505 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5709 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 6855 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2510 . . . . . 6
87eqimssi 3447 . . . . 5
9 fveq2 5708 . . . . . . 7
109sseq2d 3421 . . . . . 6
1110rspcev 3113 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 655 . . . 4
13 ssiun 4238 . . . 4
1412, 13ax-mp 5 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3426 . 2
17 dftr2 4413 . . . 4
18 eliun 4201 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 677 . . . . . . . 8
20 r19.42v 2918 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 245 . . . . . . 7
22 elunii 4122 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3557 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5718 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 6386 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 6388 . . . . . . . . . . . 12
27 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 4125 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3548 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 4125 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3548 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 6859 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 654 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3442 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3392 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 31 . . . . . . . 8
3837reximia 2865 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 189 . . . . . 6
40 peano2 6506 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5708 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2556 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3113 . . . . . . . . . . 11
4443ex 425 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2878 . . . . . . . 8
47 fveq2 5708 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2556 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 2991 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 eliun 4201 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 205 . . . . . 6
5339, 52syl 16 . . . . 5
5453ax-gen 1570 . . . 4
5517, 54mpgbir 1574 . . 3
56 treq 4417 . . . 4
5715, 56ax-mp 5 . . 3
5855, 57mpbir 202 . 2
59 fveq2 5708 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3420 . . . . . . 7
61 fveq2 5708 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3420 . . . . . . 7
63 fveq2 5708 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3420 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2509 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3417 . . . . . . . . 9
6766biimpri 199 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
69 uniss 4138 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4412 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3400 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 542 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3567 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 219 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3420 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 216 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 70 . . . . . . . . 9
8079com23 75 . . . . . . . 8
8180adantld 455 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 6514 . . . . . 6
8382com12 30 . . . . 5
8483ralrimiv 2842 . . . 4
85 fveq2 5708 . . . . . . . 8
8685cbviunv 4235 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2509 . . . . . 6
8887sseq1i 3417 . . . . 5
89 iunss 4237 . . . . 5
9088, 89bitri 242 . . . 4
9184, 90sylibr 205 . . 3
9291ax-gen 1570 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1140 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 939  A.wal 1564  =wceq 1670  e.wcel 1732  A.wral 2759  E.wrex 2760   cvv 3015  u.cun 3363  C_wss 3365   c0 3673  U.cuni 4117  U_ciun 4197  e.cmpt 4376  Trwtr 4411  succsuc 4742  |cres 4864  cfv 5438   com 6486  reccrdg 6829 This theorem is referenced by:  tz9.1  7832  tz9.1c  7833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-pss 3381  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-tp 3917  df-op 3918  df-uni 4118  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-tr 4412  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-om 6487  df-recs 6795  df-rdg 6830
 Copyright terms: Public domain W3C validator