MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Unicode version

Theorem trcl 7713
Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 7714 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   , ,   , ,
Allowed substitution hints:   ( )   ( , , )   ( )

Proof of Theorem trcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 4905 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5776 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 6742 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2464 . . . . . 6
87eqimssi 3391 . . . . 5
9 fveq2 5775 . . . . . . 7
109sseq2d 3365 . . . . . 6
1110rspcev 3061 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 655 . . . 4
13 ssiun 4163 . . . 4
1412, 13ax-mp 5 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3370 . 2
17 dftr2 4338 . . . 4
18 eliun 4126 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 677 . . . . . . . 8
20 r19.42v 2869 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 245 . . . . . . 7
22 elunii 4048 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3500 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5785 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 4746 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 4748 . . . . . . . . . . . 12
27 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 4051 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3491 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 4051 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3491 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 6746 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 654 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3386 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3336 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 31 . . . . . . . 8
3837reximia 2818 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 189 . . . . . 6
40 peano2 4906 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3061 . . . . . . . . . . 11
4443ex 425 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2831 . . . . . . . 8
47 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2510 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 2942 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 eliun 4126 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 205 . . . . . 6
5339, 52syl 16 . . . . 5
5453ax-gen 1556 . . . 4
5517, 54mpgbir 1560 . . 3
56 treq 4342 . . . 4
5715, 56ax-mp 5 . . 3
5855, 57mpbir 202 . 2
59 fveq2 5775 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3364 . . . . . . 7
61 fveq2 5775 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3364 . . . . . . 7
63 fveq2 5775 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3364 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2463 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3361 . . . . . . . . 9
6766biimpri 199 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
69 uniss 4063 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4337 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3344 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 542 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3510 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 219 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3364 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 216 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 70 . . . . . . . . 9
8079com23 75 . . . . . . . 8
8180adantld 455 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 4914 . . . . . 6
8382com12 30 . . . . 5
8483ralrimiv 2795 . . . 4
85 fveq2 5775 . . . . . . . 8
8685cbviunv 4160 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2463 . . . . . 6
8887sseq1i 3361 . . . . 5
89 iunss 4162 . . . . 5
9088, 89bitri 242 . . . 4
9184, 90sylibr 205 . . 3
9291ax-gen 1556 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1133 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  A.wal 1550  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  E.wrex 2713   cvv 2965  u.cun 3307  C_wss 3309   c0 3616  U.cuni 4043  U_ciun 4122  e.cmpt 4301  Trwtr 4336  succsuc 4624   com 4886  |`cres 4921  `cfv 5501  reccrdg 6716
This theorem is referenced by:  tz9.1  7714  tz9.1c  7715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-recs 6682  df-rdg 6717
  Copyright terms: Public domain W3C validator