Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Unicode version

Theorem trcl 8180
 Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 8181 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,

Proof of Theorem trcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 6719 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5872 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 7120 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2487 . . . . . 6
87eqimssi 3557 . . . . 5
9 fveq2 5871 . . . . . . 7
109sseq2d 3531 . . . . . 6
1110rspcev 3210 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 672 . . . 4
13 ssiun 4372 . . . 4
1412, 13ax-mp 5 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3536 . 2
17 dftr2 4547 . . . 4
18 eliun 4335 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 694 . . . . . . . 8
20 r19.42v 3012 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 252 . . . . . . 7
22 elunii 4254 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3667 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 6596 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 6598 . . . . . . . . . . . 12
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 7124 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3552 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3502 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 32 . . . . . . . 8
3837reximia 2923 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 195 . . . . . 6
40 peano2 6720 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
4443ex 434 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
47 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 3085 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 212 . . . . . . 7
51 eliun 4335 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 212 . . . . . 6
5339, 52syl 16 . . . . 5
5453ax-gen 1618 . . . 4
5517, 54mpgbir 1622 . . 3
56 treq 4551 . . . 4
5715, 56ax-mp 5 . . 3
5855, 57mpbir 209 . 2
59 fveq2 5871 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3530 . . . . . . 7
61 fveq2 5871 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3530 . . . . . . 7
63 fveq2 5871 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3530 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3527 . . . . . . . . 9
6766biimpri 206 . . . . . . . 8
6867adantr 465 . . . . . . 7
69 uniss 4270 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4546 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3510 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 557 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3677 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 226 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3530 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 223 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 72 . . . . . . . . 9
8079com23 78 . . . . . . . 8
8180adantld 467 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 6728 . . . . . 6
8382com12 31 . . . . 5
8483ralrimiv 2869 . . . 4
85 fveq2 5871 . . . . . . . 8
8685cbviunv 4369 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2486 . . . . . 6
8887sseq1i 3527 . . . . 5
89 iunss 4371 . . . . 5
9088, 89bitri 249 . . . 4
9184, 90sylibr 212 . . 3
9291ax-gen 1618 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1174 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  Trwtr 4545  succsuc 4885  |cres 5006  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094 This theorem is referenced by:  tz9.1  8181  tz9.1c  8182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
 Copyright terms: Public domain W3C validator