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Theorem tskcard 9180
Description: An even more direct relationship than r1tskina 9181 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskcard

Proof of Theorem tskcard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardeq0 8948 . . . 4
21necon3bid 2715 . . 3
32biimpar 485 . 2
4 eqid 2457 . . . . . 6
54pwcfsdom 8979 . . . . 5
6 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
76pwex 4635 . . . . . . . . . . . 12
87canth2 7690 . . . . . . . . . . 11
9 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
10 cardon 8346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110oneli 4990 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 cardsdomelir 8375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 tskord 9179 . . . . . . . . . . . . . . 15
169, 12, 14, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
17 tskpw 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 tskpwss 9151 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
2016, 19syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
21 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . 13
229, 20, 21sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
23 cardidg 8944 . . . . . . . . . . . . . 14
2423ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . 13
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
26 domentr 7594 . . . . . . . . . . . 12
2722, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
28 sdomdomtr 7670 . . . . . . . . . . 11
298, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . 10
3029ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
3130adantr 465 . . . . . . . 8
32 inawinalem 9088 . . . . . . . . . 10
3310, 32ax-mp 5 . . . . . . . . 9
34 winainflem 9092 . . . . . . . . . 10
3510, 34mp3an2 1312 . . . . . . . . 9
3633, 35sylan2 474 . . . . . . . 8
373, 31, 36syl2anc 661 . . . . . . 7
38 cardidm 8361 . . . . . . 7
39 cardaleph 8491 . . . . . . 7
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . 6
4140fveq2d 5875 . . . . . . 7
4240, 41oveq12d 6314 . . . . . 6
4340, 42breq12d 4465 . . . . 5
445, 43mpbiri 233 . . . 4
45 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12
46 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13
47 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 48elmap 7467 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 fssxp 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14
5216ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352ssrdv 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 cfle 8655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 tskxpss 9171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58573exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6056, 59mpdi 42 . . . . . . . . . . . . . . 15
6153, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
62 sstr2 3510 . . . . . . . . . . . . . 14
6351, 61, 62syl2im 38 . . . . . . . . . . . . 13
6446, 45, 63sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
65 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13
66 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 fndmeng 7612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6866, 48, 67sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6949, 68sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . . 14
71 cardsdomelir 8375 . . . . . . . . . . . . . 14
72 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . . . . . 14
7370, 71, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
7446, 65, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
75 tskssel 9156 . . . . . . . . . . . 12
7645, 64, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
77763expia 1198 . . . . . . . . . 10
7877ssrdv 3509 . . . . . . . . 9
79 ssdomg 7581 . . . . . . . . . 10
8079imp 429 . . . . . . . . 9
8178, 80syldan 470 . . . . . . . 8
8224adantr 465 . . . . . . . 8
83 domentr 7594 . . . . . . . 8
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . 7
85 domnsym 7663 . . . . . . 7
8684, 85syl 16 . . . . . 6
8786ex 434 . . . . 5
8887adantr 465 . . . 4
8944, 88mt2d 117 . . 3
90 cfon 8656 . . . . . 6
9190, 10onsseli 4997 . . . . 5
9254, 91mpbi 208 . . . 4
9392ori 375 . . 3
9489, 93syl 16 . 2
95 elina 9086 . 2
963, 94, 31, 95syl3anbrc 1180 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  X.cxp 5002  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   char 8003   ccrd 8337   cale 8338   ccf 8339   cina 9082   ctsk 9147
This theorem is referenced by:  r1tskina  9181  tskuni  9182  inaprc  9235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-r1 8203  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518  df-ina 9084  df-tsk 9148
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