Theorem ttukey2g 8917

Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8919 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of so that it also contains some given as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ttukey2g

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem ttukey2g

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3630	. . . 4
2		ssnum 8441	. . . 4
3	1, 2	mpan2 671	. . 3
4		isnum3 8356	. . . . 5
5		bren 7545	. . . . 5
6	4, 5	bitri 249	. . . 4
7		simp1 996	. . . . . . 7
8		simp2 997	. . . . . . 7
9		simp3 998	. . . . . . 7
10		dmeq 5208	. . . . . . . . . . 11
11	10	unieqd 4259	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10
13	10	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
14		rneq 5233	. . . . . . . . . . . 12
15	14	unieqd 4259	. . . . . . . . . . 11
16	13, 15	ifbieq2d 3966	. . . . . . . . . 10
17		id 22	. . . . . . . . . . . 12
18	17, 11	fveq12d 5877	. . . . . . . . . . 11
19	11	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	sneqd 4041	. . . . . . . . . . . . . 14
21	18, 20	uneq12d 3658	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12
23	22, 20	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . . 11
24	18, 23	uneq12d 3658	. . . . . . . . . 10
25	12, 16, 24	ifbieq12d 3968	. . . . . . . . 9
26	25	cbvmptv 4543	. . . . . . . 8
27		recseq 7062	. . . . . . . 8
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7
29	7, 8, 9, 28	ttukeylem7 8916	. . . . . 6
30	29	3expib 1199	. . . . 5
31	30	exlimiv 1722	. . . 4
32	6, 31	sylbi 195	. . 3
33	3, 32	syl 16	. 2
34	33	3impib 1194	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  recscrecs 7060  cen 7533  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  ttukeyg  8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-card 8341