Theorem ttukeylem1 8910

Description: Lemma for ttukey 8919. Expand out the property of being an element of a property of finite character. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1
ttukeylem.2
ttukeylem.3

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem1

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ttukeylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		id 22	. . . . 5
4		ssun1 3666	. . . . . . . 8
5		undif1 3903	. . . . . . . 8
6	4, 5	sseqtr4i 3536	. . . . . . 7
7		fvex 5881	. . . . . . . . 9
8		ttukeylem.1	. . . . . . . . . 10
9		f1ofo 5828	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . 9
11		fornex 6769	. . . . . . . . 9
12	7, 10, 11	mpsyl 63	. . . . . . . 8
13		ttukeylem.2	. . . . . . . 8
14		unexg 6601	. . . . . . . 8
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . 7
16		ssexg 4598	. . . . . . 7
17	6, 15, 16	sylancr 663	. . . . . 6
18		uniexb 6610	. . . . . 6
19	17, 18	sylibr 212	. . . . 5
20		ssexg 4598	. . . . 5
21	3, 19, 20	syl2anr 478	. . . 4
22		infpwfidom 8430	. . . 4
23		reldom 7542	. . . . 5
24	23	brrelexi 5045	. . . 4
25	21, 22, 24	3syl 20	. . 3
26	25	ex 434	. 2
27		ttukeylem.3	. . 3
28		eleq1 2529	. . . . 5
29		pweq 4015	. . . . . . 7
30	29	ineq1d 3698	. . . . . 6
31	30	sseq1d 3530	. . . . 5
32	28, 31	bibi12d 321	. . . 4
33	32	spcgv 3194	. . 3
34	27, 33	syl5com 30	. 2
35	2, 26, 34	pm5.21ndd 354	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  cdom 7534  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  ttukeylem2  8911  ttukeylem6  8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540