MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem3 Unicode version

Theorem ttukeylem3 8627
Description: Lemma for ttukey 8634. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1
ttukeylem.2
ttukeylem.3
ttukeylem.4
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4
21tfr2 6816 . . 3
32adantl 456 . 2
4 eqidd 2423 . . 3
5 simpr 451 . . . . . . . 8
65dmeqd 5013 . . . . . . 7
71tfr1 6815 . . . . . . . . 9
8 onss 6372 . . . . . . . . . 10
98ad2antlr 711 . . . . . . . . 9
10 fnssres 5494 . . . . . . . . 9
117, 9, 10sylancr 648 . . . . . . . 8
12 fndm 5480 . . . . . . . 8
1311, 12syl 16 . . . . . . 7
146, 13eqtrd 2454 . . . . . 6
1514unieqd 4076 . . . . . 6
1614, 15eqeq12d 2436 . . . . 5
1714eqeq1d 2430 . . . . . 6
185rneqd 5038 . . . . . . . 8
19 df-ima 4824 . . . . . . . 8
2018, 19syl6eqr 2472 . . . . . . 7
2120unieqd 4076 . . . . . 6
2217, 21ifbieq2d 3791 . . . . 5
235, 15fveq12d 5667 . . . . . 6
2415fveq2d 5665 . . . . . . . . . 10
2524sneqd 3866 . . . . . . . . 9
2623, 25uneq12d 3488 . . . . . . . 8
2726eleq1d 2488 . . . . . . 7
28 eqidd 2423 . . . . . . 7
2927, 25, 28ifbieq12d 3793 . . . . . 6
3023, 29uneq12d 3488 . . . . 5
3116, 22, 30ifbieq12d 3793 . . . 4
32 onuni 6374 . . . . . . . . . 10
3332ad3antlr 715 . . . . . . . . 9
34 sucidg 4768 . . . . . . . . 9
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8
36 eloni 4700 . . . . . . . . . . 11
3736ad2antlr 711 . . . . . . . . . 10
38 orduniorsuc 6411 . . . . . . . . . 10
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4039orcanai 889 . . . . . . . 8
4135, 40eleqtrrd 2499 . . . . . . 7
42 fvres 5674 . . . . . . 7
4341, 42syl 16 . . . . . 6
4443uneq1d 3486 . . . . . . . 8
4544eleq1d 2488 . . . . . . 7
4645ifbid 3788 . . . . . 6
4743, 46uneq12d 3488 . . . . 5
4847ifeq2da 3797 . . . 4
4931, 48eqtrd 2454 . . 3
50 fnfun 5478 . . . . 5
517, 50ax-mp 5 . . . 4
52 simpr 451 . . . 4
53 resfunexg 5912 . . . 4
5451, 52, 53sylancr 648 . . 3
55 ttukeylem.2 . . . . . 6
56 elex 2960 . . . . . 6
5755, 56syl 16 . . . . 5
58 funimaexg 5465 . . . . . . 7
5951, 58mpan 655 . . . . . 6
60 uniexg 6347 . . . . . 6
6159, 60syl 16 . . . . 5
62 ifcl 3808 . . . . 5
6357, 61, 62syl2an 467 . . . 4
64 fvex 5671 . . . . 5
65 snex 4505 . . . . . 6
66 0ex 4397 . . . . . 6
6765, 66ifex 3835 . . . . 5
6864, 67unex 6348 . . . 4
69 ifcl 3808 . . . 4
7063, 68, 69sylancl 647 . . 3
714, 49, 54, 70fvmptd 5749 . 2
723, 71eqtrd 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  A.wal 1580  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  \cdif 3302  u.cun 3303  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  ifcif 3768  ~Pcpw 3837  {csn 3853  U.cuni 4066  e.cmpt 4325  Ordword 4689   con0 4690  succsuc 4692  domcdm 4811  rancrn 4812  |`cres 4813  "cima 4814  Funwfun 5384  Fnwfn 5385  -1-1-onto->wf1o 5389  `cfv 5390  recscrecs 6790   cfn 7269   ccrd 8052
This theorem is referenced by:  ttukeylem4  8628  ttukeylem5  8629  ttukeylem6  8630  ttukeylem7  8631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-recs 6791
  Copyright terms: Public domain W3C validator