Theorem ttukeylem5 8914

Description: Lemma for ttukey 8919. The function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1
ttukeylem.2
ttukeylem.3
ttukeylem.4

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem5

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem ttukeylem5

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3525	. . . . . 6
2		fveq2 5871	. . . . . . 7
3	2	sseq2d 3531	. . . . . 6
4	1, 3	imbi12d 320	. . . . 5
5	4	imbi2d 316	. . . 4
6		sseq2 3525	. . . . . 6
7		fveq2 5871	. . . . . . 7
8	7	sseq2d 3531	. . . . . 6
9	6, 8	imbi12d 320	. . . . 5
10	9	imbi2d 316	. . . 4
11		r19.21v 2862	. . . . 5
12		simpllr 760	. . . . . . . . . 10
13		simplr 755	. . . . . . . . . 10
14		onsseleq 4924	. . . . . . . . . 10
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
16		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . . 13
17		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . . 13
18		ttukeylem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19	18	tfr1 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22		onss 6626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25		fnfvima 6150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27		elssuni 4279	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		n0i 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30		iffalse 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	24, 29, 30	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	28, 31	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
34		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35	34	uniex 6596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	35	sucid 4962	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		orduniorsuc 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39	21, 37, 38	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39	orcanai 913	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41	36, 40	syl5eleqr 2552	. . . . . . . . . . . . . . 15
42		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44		elssuni 4279	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	46, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	49	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	41, 42, 45, 50	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . . 14
52		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . . 14
53	51, 52	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . 13
54	16, 17, 33, 53	ifbothda 3976	. . . . . . . . . . . 12
55		simplll 759	. . . . . . . . . . . . 13
56		ttukeylem.1	. . . . . . . . . . . . . 14
57		ttukeylem.2	. . . . . . . . . . . . . 14
58		ttukeylem.3	. . . . . . . . . . . . . 14
59	56, 57, 58, 18	ttukeylem3 8912	. . . . . . . . . . . . 13
60	55, 21, 59	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
61	54, 60	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . . . 11
62	61	expr 615	. . . . . . . . . 10
63		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
64		eqimss 3555	. . . . . . . . . . . 12
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . 11
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10
67	62, 66	jaod 380	. . . . . . . . 9
68	15, 67	sylbid 215	. . . . . . . 8
69	68	ex 434	. . . . . . 7
70	69	expcom 435	. . . . . 6
71	70	a2d 26	. . . . 5
72	11, 71	syl5bi 217	. . . 4
73	5, 10, 72	tfis3 6692	. . 3
74	73	expdcom 439	. 2
75	74	3imp2 1211	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  recscrecs 7060  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  ttukeylem6  8915  ttukeylem7  8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-recs 7061