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Theorem ttukeylem7 8916
Description: Lemma for ttukey 8919. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1
ttukeylem.2
ttukeylem.3
ttukeylem.4
Assertion
Ref Expression
ttukeylem7
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   , , ,   , , ,   , ,

Proof of Theorem ttukeylem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5881 . . . 4
21sucid 4962 . . 3
3 ttukeylem.1 . . . 4
4 ttukeylem.2 . . . 4
5 ttukeylem.3 . . . 4
6 ttukeylem.4 . . . 4
73, 4, 5, 6ttukeylem6 8915 . . 3
82, 7mpan2 671 . 2
93, 4, 5, 6ttukeylem4 8913 . . 3
10 0elon 4936 . . . . 5
11 cardon 8346 . . . . 5
12 0ss 3814 . . . . 5
1310, 11, 123pm3.2i 1174 . . . 4
143, 4, 5, 6ttukeylem5 8914 . . . 4
1513, 14mpan2 671 . . 3
169, 15eqsstr3d 3538 . 2
17 simprr 757 . . . . . 6
18 ssun1 3666 . . . . . . . 8
19 undif1 3903 . . . . . . . 8
2018, 19sseqtr4i 3536 . . . . . . 7
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
22 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
243, 22, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 elunii 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3330, 32eldifd 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15
3425, 33ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . 14
35 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . 14
3611, 34, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
37 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3911a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4011onordi 4987 . . . . . . . . . . . . 13
41 ordsucss 6653 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 34, 41mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12
433, 4, 5, 6ttukeylem5 8914 . . . . . . . . . . . 12
4421, 38, 39, 42, 43syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11
45 ssun2 3667 . . . . . . . . . . . . 13
46 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 ordunisuc 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4836, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
503adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250, 33, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5349, 52eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554elsnc 4053 . . . . . . . . . . . . . . 15
5653, 55sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
5748fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5940, 34, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
603, 4, 5, 6ttukeylem5 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6121, 36, 39, 59, 60syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6257, 61eqsstrd 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6462, 63sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6553, 27eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665snssd 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6764, 66unssd 3679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
683, 4, 5ttukeylem2 8911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6921, 28, 67, 68syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069iftrued 3949 . . . . . . . . . . . . . 14
7156, 70eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13
7245, 71sseldi 3501 . . . . . . . . . . . 12
733, 4, 5, 6ttukeylem3 8912 . . . . . . . . . . . . . 14
7438, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
75 sucidg 4961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7634, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7836, 46, 773syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 nelne1 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8076, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180, 48neeqtrrd 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14
8382iffalsed 3952 . . . . . . . . . . . . 13
8474, 83eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
8572, 84eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11
8644, 85sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
8786expr 615 . . . . . . . . 9
8887ssrdv 3509 . . . . . . . 8
8916adantr 465 . . . . . . . 8
9088, 89unssd 3679 . . . . . . 7
9120, 90syl5ss 3514 . . . . . 6
9217, 91eqssd 3520 . . . . 5
9392expr 615 . . . 4
94 npss 3613 . . . 4
9593, 94sylibr 212 . . 3
9695ralrimiva 2871 . 2
97 sseq2 3525 . . . 4
98 psseq1 3590 . . . . . 6
9998notbid 294 . . . . 5
10099ralbidv 2896 . . . 4
10197, 100anbi12d 710 . . 3
102101rspcev 3210 . 2
1038, 16, 96, 102syl12anc 1226 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  recscrecs 7060   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  ttukey2g  8917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-card 8341
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