MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.44-2 Unicode version

Theorem tz7.44-2 6997
Description: The value of at a successor ordinal. Part 2 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1
tz7.44.2
tz7.44.3
tz7.44.4
tz7.44.5
Assertion
Ref Expression
tz7.44-2
Distinct variable groups:   ,   , ,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tz7.44-2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5813 . . . 4
2 reseq2 5222 . . . . 5
32fveq2d 5817 . . . 4
41, 3eqeq12d 2476 . . 3
5 tz7.44.2 . . 3
64, 5vtoclga 3145 . 2
72eleq1d 2523 . . . 4
8 tz7.44.3 . . . 4
97, 8vtoclga 3145 . . 3
10 noel 3755 . . . . . . 7
11 dmeq 5157 . . . . . . . . 9
12 dm0 5170 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eq 2511 . . . . . . . 8
14 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . 13
15 ordsson 6534 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
17 ordtr 4850 . . . . . . . . . . . . . 14
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
19 trsuc 4920 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
2116, 20sseldi 3468 . . . . . . . . . . 11
22 sucidg 4914 . . . . . . . . . . 11
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
24 dmres 5248 . . . . . . . . . . 11
25 ordelss 4852 . . . . . . . . . . . . . 14
2614, 25mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
27 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . 14
28 fndm 5629 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3026, 29syl6sseqr 3517 . . . . . . . . . . . 12
31 df-ss 3456 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31sylib 196 . . . . . . . . . . 11
3324, 32syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10
3423, 33eleqtrrd 2545 . . . . . . . . 9
35 eleq2 2527 . . . . . . . . 9
3634, 35syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
3713, 36syl5 32 . . . . . . 7
3810, 37mtoi 178 . . . . . 6
39 iffalse 3914 . . . . . 6
4038, 39syl 16 . . . . 5
41 nlimsucg 6586 . . . . . . . 8
4221, 41syl 16 . . . . . . 7
43 limeq 4848 . . . . . . . 8
4433, 43syl 16 . . . . . . 7
4542, 44mtbird 301 . . . . . 6
46 iffalse 3914 . . . . . 6
4745, 46syl 16 . . . . 5
4833unieqd 4218 . . . . . . . . 9
49 eloni 4846 . . . . . . . . . . 11
50 ordunisuc 6576 . . . . . . . . . . 11
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10
5221, 51syl 16 . . . . . . . . 9
5348, 52eqtrd 2495 . . . . . . . 8
5453fveq2d 5817 . . . . . . 7
55 fvres 5827 . . . . . . . 8
5623, 55syl 16 . . . . . . 7
5754, 56eqtrd 2495 . . . . . 6
5857fveq2d 5817 . . . . 5
5940, 47, 583eqtrd 2499 . . . 4
60 fvex 5823 . . . 4
6159, 60syl6eqel 2550 . . 3
62 eqeq1 2458 . . . . 5
63 dmeq 5157 . . . . . . 7
64 limeq 4848 . . . . . . 7
6563, 64syl 16 . . . . . 6
66 rneq 5182 . . . . . . 7
6766unieqd 4218 . . . . . 6
68 fveq1 5812 . . . . . . . 8
6963unieqd 4218 . . . . . . . . 9
7069fveq2d 5817 . . . . . . . 8
7168, 70eqtrd 2495 . . . . . . 7
7271fveq2d 5817 . . . . . 6
7365, 67, 72ifbieq12d 3932 . . . . 5
7462, 73ifbieq2d 3930 . . . 4
75 tz7.44.1 . . . 4
7674, 75fvmptg 5895 . . 3
779, 61, 76syl2anc 661 . 2
786, 77, 593eqtrd 2499 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  ifcif 3905  U.cuni 4208  e.cmpt 4467  Trwtr 4502  Ordword 4835   con0 4836  Limwlim 4837  succsuc 4838  domcdm 4957  rancrn 4958  |`cres 4959  Fnwfn 5532  `cfv 5537
This theorem is referenced by:  rdgsucg  7013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-fv 5545
  Copyright terms: Public domain W3C validator