MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.44-2 Unicode version

Theorem tz7.44-2 7092
Description: The value of at a successor ordinal. Part 2 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1
tz7.44.2
tz7.44.3
tz7.44.4
tz7.44.5
Assertion
Ref Expression
tz7.44-2
Distinct variable groups:   ,   , ,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tz7.44-2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . 4
2 reseq2 5273 . . . . 5
32fveq2d 5875 . . . 4
41, 3eqeq12d 2479 . . 3
5 tz7.44.2 . . 3
64, 5vtoclga 3173 . 2
72eleq1d 2526 . . . 4
8 tz7.44.3 . . . 4
97, 8vtoclga 3173 . . 3
10 noel 3788 . . . . . . 7
11 dmeq 5208 . . . . . . . . 9
12 dm0 5221 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eq 2514 . . . . . . . 8
14 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . 13
15 ordsson 6625 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
17 ordtr 4897 . . . . . . . . . . . . . 14
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
19 trsuc 4967 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
2116, 20sseldi 3501 . . . . . . . . . . 11
22 sucidg 4961 . . . . . . . . . . 11
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
24 dmres 5299 . . . . . . . . . . 11
25 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . 14
2614, 25mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
27 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . 14
28 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3026, 29syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . . 12
31 df-ss 3489 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31sylib 196 . . . . . . . . . . 11
3324, 32syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
3423, 33eleqtrrd 2548 . . . . . . . . 9
35 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
3634, 35syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
3713, 36syl5 32 . . . . . . 7
3810, 37mtoi 178 . . . . . 6
3938iffalsed 3952 . . . . 5
40 nlimsucg 6677 . . . . . . . 8
4121, 40syl 16 . . . . . . 7
42 limeq 4895 . . . . . . . 8
4333, 42syl 16 . . . . . . 7
4441, 43mtbird 301 . . . . . 6
4544iffalsed 3952 . . . . 5
4633unieqd 4259 . . . . . . . . 9
47 eloni 4893 . . . . . . . . . . 11
48 ordunisuc 6667 . . . . . . . . . . 11
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . 10
5021, 49syl 16 . . . . . . . . 9
5146, 50eqtrd 2498 . . . . . . . 8
5251fveq2d 5875 . . . . . . 7
53 fvres 5885 . . . . . . . 8
5423, 53syl 16 . . . . . . 7
5552, 54eqtrd 2498 . . . . . 6
5655fveq2d 5875 . . . . 5
5739, 45, 563eqtrd 2502 . . . 4
58 fvex 5881 . . . 4
5957, 58syl6eqel 2553 . . 3
60 eqeq1 2461 . . . . 5
61 dmeq 5208 . . . . . . 7
62 limeq 4895 . . . . . . 7
6361, 62syl 16 . . . . . 6
64 rneq 5233 . . . . . . 7
6564unieqd 4259 . . . . . 6
66 fveq1 5870 . . . . . . . 8
6761unieqd 4259 . . . . . . . . 9
6867fveq2d 5875 . . . . . . . 8
6966, 68eqtrd 2498 . . . . . . 7
7069fveq2d 5875 . . . . . 6
7163, 65, 70ifbieq12d 3968 . . . . 5
7260, 71ifbieq2d 3966 . . . 4
73 tz7.44.1 . . . 4
7472, 73fvmptg 5954 . . 3
759, 59, 74syl2anc 661 . 2
766, 75, 573eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  rdgsucg  7108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator