MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.44-3 Unicode version

Theorem tz7.44-3 7093
Description: The value of at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1
tz7.44.2
tz7.44.3
tz7.44.4
tz7.44.5
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3
Distinct variable groups:   ,   , ,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . . 6
2 reseq2 5273 . . . . . . 7
32fveq2d 5875 . . . . . 6
41, 3eqeq12d 2479 . . . . 5
5 tz7.44.2 . . . . 5
64, 5vtoclga 3173 . . . 4
76adantr 465 . . 3
82eleq1d 2526 . . . . . . 7
9 tz7.44.3 . . . . . . 7
108, 9vtoclga 3173 . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . . . . . 9
13 nlim0 4941 . . . . . . . . . . 11
14 dmres 5299 . . . . . . . . . . . . . 14
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1715, 16mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2218, 21syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 df-ss 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15
2422, 23sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
2514, 24syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13
26 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . . . 14
27 dm0 5221 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13
2925, 28sylan9req 2519 . . . . . . . . . . . 12
30 limeq 4895 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11
3213, 31mtbiri 303 . . . . . . . . . 10
3332ex 434 . . . . . . . . 9
3412, 33mt2d 117 . . . . . . . 8
3534iffalsed 3952 . . . . . . 7
36 limeq 4895 . . . . . . . . . 10
3725, 36syl 16 . . . . . . . . 9
3812, 37mpbird 232 . . . . . . . 8
3938iftrued 3949 . . . . . . 7
4035, 39eqtrd 2498 . . . . . 6
41 rnexg 6732 . . . . . . 7
42 uniexg 6597 . . . . . . 7
4311, 41, 423syl 20 . . . . . 6
4440, 43eqeltrd 2545 . . . . 5
45 eqeq1 2461 . . . . . . 7
46 dmeq 5208 . . . . . . . . 9
47 limeq 4895 . . . . . . . . 9
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
49 rneq 5233 . . . . . . . . 9
5049unieqd 4259 . . . . . . . 8
51 fveq1 5870 . . . . . . . . . 10
5246unieqd 4259 . . . . . . . . . . 11
5352fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
5451, 53eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
5554fveq2d 5875 . . . . . . . 8
5648, 50, 55ifbieq12d 3968 . . . . . . 7
5745, 56ifbieq2d 3966 . . . . . 6
58 tz7.44.1 . . . . . 6
5957, 58fvmptg 5954 . . . . 5
6011, 44, 59syl2anc 661 . . . 4
6160, 40eqtrd 2498 . . 3
627, 61eqtrd 2498 . 2
63 df-ima 5017 . . 3
6463unieqi 4258 . 2
6562, 64syl6eqr 2516 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Ordword 4882  Limwlim 4884  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  rdglimg  7110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-lim 4888  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator