MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.48lem Unicode version

Theorem tz7.48lem 7125
Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)
Hypothesis
Ref Expression
tz7.48.1
Assertion
Ref Expression
tz7.48lem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,

Proof of Theorem tz7.48lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r2al 2835 . . . . . . 7
2 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
32anim1i 568 . . . . . . . . . 10
43imim1i 58 . . . . . . . . 9
54expd 436 . . . . . . . 8
652alimi 1634 . . . . . . 7
71, 6sylbi 195 . . . . . 6
8 r2al 2835 . . . . . 6
97, 8sylibr 212 . . . . 5
10 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . 12
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
1211eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
1312notbid 294 . . . . . . . . . . . 12
1410, 13imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
1514cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10
1615ralbii 2888 . . . . . . . . 9
17 elequ2 1823 . . . . . . . . . . . 12
18 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
2221ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
2322cbvralv 3084 . . . . . . . . 9
24 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . 13
25 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
2726notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
2824, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
2928cbvralv 3084 . . . . . . . . . . 11
3029ralbii 2888 . . . . . . . . . 10
31 elequ2 1823 . . . . . . . . . . . . 13
32 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
3433notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
3635ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
3736cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10
3830, 37bitri 249 . . . . . . . . 9
3916, 23, 383bitri 271 . . . . . . . 8
40 ralcom2 3022 . . . . . . . 8
4139, 40sylbi 195 . . . . . . 7
4241ancri 552 . . . . . 6
43 r19.26-2 2985 . . . . . 6
4442, 43sylibr 212 . . . . 5
459, 44syl 16 . . . 4
46 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
47 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
4846, 47eqeqan12d 2480 . . . . . . . . . 10
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
50 ssel 3497 . . . . . . . . . . . 12
51 ssel 3497 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51anim12d 563 . . . . . . . . . . 11
53 pm3.48 833 . . . . . . . . . . . . . 14
54 oridm 514 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756orbi1i 520 . . . . . . . . . . . . . . 15
5854, 57bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14
5953, 58syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . 13
6059con2d 115 . . . . . . . . . . . 12
61 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . 13
62 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . 13
63 ordtri3 4919 . . . . . . . . . . . . . 14
6463biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13
6561, 62, 64syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
6660, 65syl9r 72 . . . . . . . . . . 11
6752, 66syl6 33 . . . . . . . . . 10
6867imp32 433 . . . . . . . . 9
6949, 68sylbid 215 . . . . . . . 8
7069exp32 605 . . . . . . 7
7170a2d 26 . . . . . 6
72712alimdv 1711 . . . . 5
73 r2al 2835 . . . . 5
74 r2al 2835 . . . . 5
7572, 73, 743imtr4g 270 . . . 4
7645, 75syl5 32 . . 3
7776imdistani 690 . 2
78 tz7.48.1 . . . 4
79 fnssres 5699 . . . 4
8078, 79mpan 670 . . 3
81 dffn2 5737 . . . 4
82 dff13 6166 . . . . . 6
83 df-f1 5598 . . . . . 6
8482, 83bitr3i 251 . . . . 5
8584simprbi 464 . . . 4
8681, 85sylanb 472 . . 3
8780, 86sylan 471 . 2
8877, 87syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  Ordword 4882   con0 4883  `'ccnv 5003  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  tz7.48-2  7126  tz7.49  7129  zorn2lem4  8900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-res 5016  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator