MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.48lem Unicode version

Theorem tz7.48lem 6747
Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)
Hypothesis
Ref Expression
tz7.48.1
Assertion
Ref Expression
tz7.48lem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,

Proof of Theorem tz7.48lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r2al 2749 . . . . . . 7
2 simpl 445 . . . . . . . . . . 11
32anim1i 553 . . . . . . . . . 10
43imim1i 57 . . . . . . . . 9
54exp3a 427 . . . . . . . 8
652alimi 1570 . . . . . . 7
71, 6sylbi 189 . . . . . 6
8 r2al 2749 . . . . . 6
97, 8sylibr 205 . . . . 5
10 elequ1 1731 . . . . . . . . . . . 12
11 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14
1211eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13
1312notbid 287 . . . . . . . . . . . 12
1410, 13imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
1514cbvralv 2941 . . . . . . . . . 10
1615ralbii 2736 . . . . . . . . 9
17 elequ2 1733 . . . . . . . . . . . 12
18 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13
2019notbid 287 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
2221ralbidv 2732 . . . . . . . . . 10
2322cbvralv 2941 . . . . . . . . 9
24 elequ1 1731 . . . . . . . . . . . . 13
25 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
2726notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13
2824, 27imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
2928cbvralv 2941 . . . . . . . . . . 11
3029ralbii 2736 . . . . . . . . . 10
31 elequ2 1733 . . . . . . . . . . . . 13
32 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14
3433notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
3635ralbidv 2732 . . . . . . . . . . 11
3736cbvralv 2941 . . . . . . . . . 10
3830, 37bitri 242 . . . . . . . . 9
3916, 23, 383bitri 264 . . . . . . . 8
40 ralcom2 2879 . . . . . . . 8
4139, 40sylbi 189 . . . . . . 7
4241ancri 537 . . . . . 6
43 r19.26-2 2846 . . . . . 6
4442, 43sylibr 205 . . . . 5
459, 44syl 16 . . . 4
46 fvres 5788 . . . . . . . . . . 11
47 fvres 5788 . . . . . . . . . . 11
4846, 47eqeqan12d 2458 . . . . . . . . . 10
4948ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
50 ssel 3331 . . . . . . . . . . . 12
51 ssel 3331 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51anim12d 548 . . . . . . . . . . 11
53 pm3.48 808 . . . . . . . . . . . . . 14
54 oridm 502 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655notbii 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756orbi1i 508 . . . . . . . . . . . . . . 15
5854, 57bitr3i 244 . . . . . . . . . . . . . 14
5953, 58syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . 13
6059con2d 110 . . . . . . . . . . . 12
61 eloni 4632 . . . . . . . . . . . . 13
62 eloni 4632 . . . . . . . . . . . . 13
63 ordtri3 4658 . . . . . . . . . . . . . 14
6463biimprd 216 . . . . . . . . . . . . 13
6561, 62, 64syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12
6660, 65syl9r 70 . . . . . . . . . . 11
6752, 66syl6 32 . . . . . . . . . 10
6867imp32 424 . . . . . . . . 9
6949, 68sylbid 208 . . . . . . . 8
7069exp32 590 . . . . . . 7
7170a2d 25 . . . . . 6
72712alimdv 1635 . . . . 5
73 r2al 2749 . . . . 5
74 r2al 2749 . . . . 5
7572, 73, 743imtr4g 263 . . . 4
7645, 75syl5 31 . . 3
7776imdistani 673 . 2
78 tz7.48.1 . . . 4
79 fnssres 5605 . . . 4
8078, 79mpan 653 . . 3
81 dffn2 5639 . . . 4
82 dff13 6052 . . . . . 6
83 df-f1 5506 . . . . . 6
8482, 83bitr3i 244 . . . . 5
8584simprbi 452 . . . 4
8681, 85sylanb 460 . . 3
8780, 86sylan 459 . 2
8877, 87syl 16 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 359  /\wa 360  A.wal 1550  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712   cvv 2965  C_wss 3309  Ordword 4621   con0 4622  `'ccnv 4918  |`cres 4921  Funwfun 5495  Fnwfn 5496  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  `cfv 5501
This theorem is referenced by:  tz7.48-2  6748  tz7.49  6751  abianfp  6765  zorn2lem4  8430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pr 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-res 4931  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fv 5509
  Copyright terms: Public domain W3C validator