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Theorem tz7.7 4909
Description: Proposition 7.7 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 5-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
tz7.7

Proof of Theorem tz7.7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtr 4897 . . . 4
2 ordfr 4898 . . . 4
3 tz7.2 4868 . . . . 5
433exp 1195 . . . 4
51, 2, 4sylc 60 . . 3
65adantr 465 . 2
7 pssdifn0 3888 . . . . . 6
8 difss 3630 . . . . . . . . . . . 12
9 tz7.5 4904 . . . . . . . . . . . 12
108, 9mp3an2 1312 . . . . . . . . . . 11
11 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 trss 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13 difin0ss 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1413com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1511, 12, 14syl56 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817imp32 433 . . . . . . . . . . . . . 14
19 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2019biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
21 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2220, 21nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2423adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
26 trel 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2726expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2827imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2928, 21nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3130adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3231imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34 ordwe 4896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3635, 11anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37 wecmpep 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3834, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3938adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4025, 33, 39ecase23d 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443ssrdv 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
4618, 45eqssd 3520 . . . . . . . . . . . . 13
4711ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12
4948rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . . 11
5010, 49syl5 32 . . . . . . . . . 10
5150exp4b 607 . . . . . . . . 9
5251com23 78 . . . . . . . 8
5352adantrd 468 . . . . . . 7
5453pm2.43i 47 . . . . . 6
557, 54syl7 68 . . . . 5
5655exp4a 606 . . . 4
5756pm2.43d 48 . . 3
5857impd 431 . 2
596, 58impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  Trwtr 4545   cep 4794  Frwfr 4840  Wewwe 4842  Ordword 4882
This theorem is referenced by:  ordelssne  4910  dfon2  29224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886
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