Theorem tz9.13 8230

Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. In other words, every set belongs to a layer of the cumulative hierarchy of sets. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
tz9.13.1

Assertion

Ref	Expression
tz9.13

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tz9.13

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.13.1	. . 3
2		setind 8186	. . . 4
3		ssel 3497	. . . . . . . 8
4		vex 3112	. . . . . . . . 9
5		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
6	5	rexbidv 2968	. . . . . . . . 9
7	4, 6	elab 3246	. . . . . . . 8
8	3, 7	syl6ib 226	. . . . . . 7
9	8	ralrimiv 2869	. . . . . 6
10		vex 3112	. . . . . . 7
11	10	tz9.12 8229	. . . . . 6
12	9, 11	syl 16	. . . . 5
13		eleq1 2529	. . . . . . 7
14	13	rexbidv 2968	. . . . . 6
15	10, 14	elab 3246	. . . . 5
16	12, 15	sylibr 212	. . . 4
17	2, 16	mpg 1620	. . 3
18	1, 17	eleqtrri 2544	. 2
19		eleq1 2529	. . . 4
20	19	rexbidv 2968	. . 3
21	1, 20	elab 3246	. 2
22	18, 21	mpbi 208	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  con0 4883  `cfv 5593  cr1 8201

This theorem is referenced by:  tz9.13g  8231  elhf2  29832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203