MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ublbneg Unicode version

Theorem ublbneg 11195
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . 5
21cbvralv 3084 . . . 4
32rexbii 2959 . . 3
4 breq2 4456 . . . . 5
54ralbidv 2896 . . . 4
65cbvrexv 3085 . . 3
73, 6bitri 249 . 2
8 renegcl 9905 . . . 4
9 elrabi 3254 . . . . . . . . 9
10 negeq 9835 . . . . . . . . . . . 12
1110eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
1211elrab3 3258 . . . . . . . . . 10
1312biimpd 207 . . . . . . . . 9
149, 13mpcom 36 . . . . . . . 8
15 breq1 4455 . . . . . . . . 9
1615rspcv 3206 . . . . . . . 8
1714, 16syl 16 . . . . . . 7
1817adantl 466 . . . . . 6
19 lenegcon1 10081 . . . . . . 7
209, 19sylan2 474 . . . . . 6
2118, 20sylibrd 234 . . . . 5
2221ralrimdva 2875 . . . 4
23 breq1 4455 . . . . . 6
2423ralbidv 2896 . . . . 5
2524rspcev 3210 . . . 4
268, 22, 25syl6an 545 . . 3
2726rexlimiv 2943 . 2
287, 27sylbir 213 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   class class class wbr 4452   cr 9512   cle 9650  -ucneg 9829
This theorem is referenced by:  supminf  11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator