Theorem un0mulcl 10855

Description: If is closed under multiplication, then so is Su.{0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1
un0addcl.2
un0mulcl.3

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5
2	1	eleq2i 2535	. . . 4
3		elun 3644	. . . 4
4	2, 3	bitri 249	. . 3
5	1	eleq2i 2535	. . . . . 6
6		elun 3644	. . . . . 6
7	5, 6	bitri 249	. . . . 5
8		ssun1 3666	. . . . . . . . 9
9	8, 1	sseqtr4i 3536	. . . . . . . 8
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8
11	9, 10	sseldi 3501	. . . . . . 7
12	11	expr 615	. . . . . 6
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11
14	13	sselda 3503	. . . . . . . . . 10
15	14	mul02d 9799	. . . . . . . . 9
16		ssun2 3667	. . . . . . . . . . 11
17	16, 1	sseqtr4i 3536	. . . . . . . . . 10
18		c0ex 9611	. . . . . . . . . . 11
19	18	snss 4154	. . . . . . . . . 10
20	17, 19	mpbir 209	. . . . . . . . 9
21	15, 20	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8
22		elsni 4054	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9
24	23	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
25	21, 24	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7
26	25	impancom 440	. . . . . 6
27	12, 26	jaodan 785	. . . . 5
28	7, 27	sylan2b 475	. . . 4
29		0cnd 9610	. . . . . . . . . . 11
30	29	snssd 4175	. . . . . . . . . 10
31	13, 30	unssd 3679	. . . . . . . . 9
32	1, 31	syl5eqss 3547	. . . . . . . 8
33	32	sselda 3503	. . . . . . 7
34	33	mul01d 9800	. . . . . 6
35	34, 20	syl6eqel 2553	. . . . 5
36		elsni 4054	. . . . . . 7
37	36	oveq2d 6312	. . . . . 6
38	37	eleq1d 2526	. . . . 5
39	35, 38	syl5ibrcom 222	. . . 4
40	28, 39	jaod 380	. . 3
41	4, 40	syl5bi 217	. 2
42	41	impr 619	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  cmul 9518

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  10857  plymullem  22613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654