Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  un0mulcl Unicode version

Theorem un0mulcl 10855
 Description: If is closed under multiplication, then so is Su.{0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0mulcl.3
Assertion
Ref Expression
un0mulcl

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5
21eleq2i 2535 . . . 4
3 elun 3644 . . . 4
42, 3bitri 249 . . 3
51eleq2i 2535 . . . . . 6
6 elun 3644 . . . . . 6
75, 6bitri 249 . . . . 5
8 ssun1 3666 . . . . . . . . 9
98, 1sseqtr4i 3536 . . . . . . . 8
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8
119, 10sseldi 3501 . . . . . . 7
1211expr 615 . . . . . 6
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11
1413sselda 3503 . . . . . . . . . 10
1514mul02d 9799 . . . . . . . . 9
16 ssun2 3667 . . . . . . . . . . 11
1716, 1sseqtr4i 3536 . . . . . . . . . 10
18 c0ex 9611 . . . . . . . . . . 11
1918snss 4154 . . . . . . . . . 10
2017, 19mpbir 209 . . . . . . . . 9
2115, 20syl6eqel 2553 . . . . . . . 8
22 elsni 4054 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
2423eleq1d 2526 . . . . . . . 8
2521, 24syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
2625impancom 440 . . . . . 6
2712, 26jaodan 785 . . . . 5
287, 27sylan2b 475 . . . 4
29 0cnd 9610 . . . . . . . . . . 11
3029snssd 4175 . . . . . . . . . 10
3113, 30unssd 3679 . . . . . . . . 9
321, 31syl5eqss 3547 . . . . . . . 8
3332sselda 3503 . . . . . . 7
3433mul01d 9800 . . . . . 6
3534, 20syl6eqel 2553 . . . . 5
36 elsni 4054 . . . . . . 7
3736oveq2d 6312 . . . . . 6
3837eleq1d 2526 . . . . 5
3935, 38syl5ibrcom 222 . . . 4
4028, 39jaod 380 . . 3
414, 40syl5bi 217 . 2
4241impr 619 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518 This theorem is referenced by:  nn0mulcl  10857  plymullem  22613 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654
 Copyright terms: Public domain W3C validator