Theorem unbnn 7796

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 8096 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unbnn

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem unbnn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 7581	. . . 4
2	1	imp 429	. . 3
3	2	3adant3 1016	. 2
4		simp1 996	. . 3
5		ssexg 4598	. . . . 5
6	5	ancoms 453	. . . 4
7	6	3adant3 1016	. . 3
8		eqid 2457	. . . . 5
9	8	unblem4 7795	. . . 4
10	9	3adant1 1014	. . 3
11		f1dom2g 7553	. . 3
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1228	. 2
13		sbth 7657	. 2
14	3, 12, 13	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 973  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |`cres 5006  -1-1->wf1 5590  com 6700  reccrdg 7094  cen 7533  cdom 7534

This theorem is referenced by:  unbnn2  7797  isfinite2  7798  unbnn3  8096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-en 7537  df-dom 7538