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Theorem undifixp 7525
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 6601 . . 3
213adant3 1016 . 2
3 ixpfn 7495 . . . 4
4 ixpfn 7495 . . . . 5
5 3simpa 993 . . . . . . . . 9
65ancomd 451 . . . . . . . 8
7 disjdif 3900 . . . . . . . 8
8 fnun 5692 . . . . . . . 8
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . 7
10 undif 3908 . . . . . . . . . . 11
1110biimpi 194 . . . . . . . . . 10
1211eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
13123ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
1413fneq2d 5677 . . . . . . 7
159, 14mpbird 232 . . . . . 6
16153exp 1195 . . . . 5
174, 16syl 16 . . . 4
183, 17syl5com 30 . . 3
19183imp 1190 . 2
20 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 elndif 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 ndmfv 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 25syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15
2720, 21, 26syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14
2827ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . 13
29 elixp2 7493 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14
31 uneq2 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3635eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3831, 32, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039ral2imi 2845 . . . . . . . . . . . . . 14
4130, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4228, 41syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12
434, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11
4443impcom 430 . . . . . . . . . 10
45 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 ndmfv 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5048, 49syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15
5245, 46, 51syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14
5352ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . 13
54 elixp2 7493 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14
56 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6362eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6460, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6558, 59, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6656, 57, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867ral2imi 2845 . . . . . . . . . . . . . 14
6955, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7053, 69syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12
713, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11
7271imp 429 . . . . . . . . . 10
73 ralunb 3684 . . . . . . . . . 10
7444, 72, 73sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
7574ex 434 . . . . . . . 8
76 raleq 3054 . . . . . . . . 9
7776imbi2d 316 . . . . . . . 8
7875, 77syl5ibr 221 . . . . . . 7
7978eqcoms 2469 . . . . . 6
8010, 79sylbi 195 . . . . 5
8180com3l 81 . . . 4
82813imp 1190 . . 3
83 df-fn 5596 . . . . . . 7
84 df-fn 5596 . . . . . . . . 9
85 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14
88873adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
89 ineq12 3694 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089, 7syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14
92913adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
93 fvun 5943 . . . . . . . . . . . . 13
9488, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
9594eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
9695ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
97963exp 1195 . . . . . . . . 9
9884, 97sylbi 195 . . . . . . . 8
9998com12 31 . . . . . . 7
10083, 99sylbi 195 . . . . . 6
1014, 100syl 16 . . . . 5
1023, 101syl5com 30 . . . 4
1031023imp 1190 . . 3
10482, 103mpbird 232 . 2
105 elixp2 7493 . 2
1062, 19, 104, 105syl3anbrc 1180 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  domcdm 5004  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  X_cixp 7489
This theorem is referenced by:  ptuncnv  20308  ptunhmeo  20309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601  df-ixp 7490
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