Theorem undom 7625

Description: Dominance law for union. Proposition 4.24(a) of [Mendelson] p. 257. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
undom

Proof of Theorem undom

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7542	. . . . . . 7
2	1	brrelex2i 5046	. . . . . 6
3		domeng 7550	. . . . . 6
4	2, 3	syl 16	. . . . 5
5	4	ibi 241	. . . 4
6	1	brrelexi 5045	. . . . . . 7
7		difss 3630	. . . . . . 7
8		ssdomg 7581	. . . . . . 7
9	6, 7, 8	mpisyl 18	. . . . . 6
10		domtr 7588	. . . . . 6
11	9, 10	mpancom 669	. . . . 5
12	1	brrelex2i 5046	. . . . . . 7
13		domeng 7550	. . . . . . 7
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6
15	14	ibi 241	. . . . 5
16	11, 15	syl 16	. . . 4
17	5, 16	anim12i 566	. . 3
18	17	adantr 465	. 2
19		eeanv 1988	. . 3
20		simprll 763	. . . . . . 7
21		simprrl 765	. . . . . . 7
22		disjdif 3900	. . . . . . . 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7
24		ss2in 3724	. . . . . . . . . 10
25	24	ad2ant2l 745	. . . . . . . . 9
26	25	adantl 466	. . . . . . . 8
27		simplr 755	. . . . . . . 8
28		sseq0 3817	. . . . . . . 8
29	26, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . 7
30		undif2 3904	. . . . . . . 8
31		unen 7618	. . . . . . . 8
32	30, 31	syl5eqbrr 4486	. . . . . . 7
33	20, 21, 23, 29, 32	syl22anc 1229	. . . . . 6
34	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8
35	1	brrelex2i 5046	. . . . . . . . 9
36	35	ad3antlr 730	. . . . . . . 8
37		unexg 6601	. . . . . . . 8
38	34, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . 7
39		unss12 3675	. . . . . . . . 9
40	39	ad2ant2l 745	. . . . . . . 8
41	40	adantl 466	. . . . . . 7
42		ssdomg 7581	. . . . . . 7
43	38, 41, 42	sylc 60	. . . . . 6
44		endomtr 7593	. . . . . 6
45	33, 43, 44	syl2anc 661	. . . . 5
46	45	ex 434	. . . 4
47	46	exlimdvv 1725	. . 3
48	19, 47	syl5bir 218	. 2
49	18, 48	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  cen 7533  cdom 7534

This theorem is referenced by:  domunsncan  7637  domunsn  7687  sucdom2  7734  unxpdom2  7748  sucxpdom  7749  fodomfi  7819  uncdadom  8572  cdadom1  8587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537  df-dom 7538