MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undom Unicode version

Theorem undom 7625
Description: Dominance law for union. Proposition 4.24(a) of [Mendelson] p. 257. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
undom

Proof of Theorem undom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7542 . . . . . . 7
21brrelex2i 5046 . . . . . 6
3 domeng 7550 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
54ibi 241 . . . 4
61brrelexi 5045 . . . . . . 7
7 difss 3630 . . . . . . 7
8 ssdomg 7581 . . . . . . 7
96, 7, 8mpisyl 18 . . . . . 6
10 domtr 7588 . . . . . 6
119, 10mpancom 669 . . . . 5
121brrelex2i 5046 . . . . . . 7
13 domeng 7550 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
1514ibi 241 . . . . 5
1611, 15syl 16 . . . 4
175, 16anim12i 566 . . 3
1817adantr 465 . 2
19 eeanv 1988 . . 3
20 simprll 763 . . . . . . 7
21 simprrl 765 . . . . . . 7
22 disjdif 3900 . . . . . . . 8
2322a1i 11 . . . . . . 7
24 ss2in 3724 . . . . . . . . . 10
2524ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9
2625adantl 466 . . . . . . . 8
27 simplr 755 . . . . . . . 8
28 sseq0 3817 . . . . . . . 8
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . 7
30 undif2 3904 . . . . . . . 8
31 unen 7618 . . . . . . . 8
3230, 31syl5eqbrr 4486 . . . . . . 7
3320, 21, 23, 29, 32syl22anc 1229 . . . . . 6
342ad3antrrr 729 . . . . . . . 8
351brrelex2i 5046 . . . . . . . . 9
3635ad3antlr 730 . . . . . . . 8
37 unexg 6601 . . . . . . . 8
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7
39 unss12 3675 . . . . . . . . 9
4039ad2ant2l 745 . . . . . . . 8
4140adantl 466 . . . . . . 7
42 ssdomg 7581 . . . . . . 7
4338, 41, 42sylc 60 . . . . . 6
44 endomtr 7593 . . . . . 6
4533, 43, 44syl2anc 661 . . . . 5
4645ex 434 . . . 4
4746exlimdvv 1725 . . 3
4819, 47syl5bir 218 . 2
4918, 48mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cen 7533   cdom 7534
This theorem is referenced by:  domunsncan  7637  domunsn  7687  sucdom2  7734  unxpdom2  7748  sucxpdom  7749  fodomfi  7819  uncdadom  8572  cdadom1  8587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537  df-dom 7538
  Copyright terms: Public domain W3C validator