Theorem unfi 7807

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unfi

Proof of Theorem unfi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 7771	. 2
2		reeanv 3025	. . . 4
3		isfi 7559	. . . . 5
4		isfi 7559	. . . . 5
5	3, 4	anbi12i 697	. . . 4
6	2, 5	bitr4i 252	. . 3
7		nnacl 7279	. . . . 5
8		unfilem3 7806	. . . . . . 7
9		entr 7587	. . . . . . . 8
10	9	expcom 435	. . . . . . 7
11	8, 10	syl 16	. . . . . 6
12		disjdif 3900	. . . . . . . 8
13		disjdif 3900	. . . . . . . 8
14		unen 7618	. . . . . . . 8
15	12, 13, 14	mpanr12 685	. . . . . . 7
16		undif2 3904	. . . . . . . . 9
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8
18		nnaword1 7297	. . . . . . . . 9
19		undif 3908	. . . . . . . . 9
20	18, 19	sylib 196	. . . . . . . 8
21	17, 20	breq12d 4465	. . . . . . 7
22	15, 21	syl5ib 219	. . . . . 6
23	11, 22	sylan2d 482	. . . . 5
24		breq2 4456	. . . . . . 7
25	24	rspcev 3210	. . . . . 6
26		isfi 7559	. . . . . 6
27	25, 26	sylibr 212	. . . . 5
28	7, 23, 27	syl6an 545	. . . 4
29	28	rexlimivv 2954	. . 3
30	6, 29	sylbir 213	. 2
31	1, 30	sylan2 474	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  com 6700  coa 7146  cen 7533  cfn 7536

This theorem is referenced by:  unfi2  7809  difinf  7810  xpfi  7811  prfi  7815  tpfi  7816  fnfi  7818  iunfi  7828  pwfilem  7834  fsuppun  7868  fsuppunfi  7869  ressuppfi  7875  fiin  7902  wemapso2OLD  7998  cantnfp1lem1  8118  cantnfp1lem1OLD  8144  ficardun2  8604  ackbij1lem6  8626  ackbij1lem16  8636  fin23lem28  8741  fin23lem30  8743  isfin1-3  8787  axcclem  8858  hashun  12450  hashunlei  12483  hashmap  12493  hashbclem  12501  hashf1lem1  12504  hashf1lem2  12505  hashf1  12506  fsummsnunz  13569  fsumsplitsnun  13570  incexclem  13648  isumltss  13660  ramub1lem1  14544  fpwipodrs  15794  acsfiindd  15807  symgfisg  16493  gsumzaddlemOLD  16936  gsumzunsnd  16982  gsumunsnfd  16983  dprdfaddOLD  17067  psrbagaddcl  18020  psrbagaddclOLD  18021  mplsubg  18098  mpllss  18099  funsnfsupOLD  18256  dsmmacl  18772  fctop  19505  uncmp  19903  bwth  19910  lfinun  20026  locfincmp  20027  comppfsc  20033  1stckgenlem  20054  ptbasin  20078  cfinfil  20394  fin1aufil  20433  alexsubALTlem3  20549  tmdgsum  20594  tsmsfbas  20626  tsmsgsum  20637  tsmsgsumOLD  20640  tsmsresOLD  20645  tsmsres  20646  tsmsxplem1  20655  prdsmet  20873  prdsbl  20994  icccmplem2  21328  rrxmval  21832  rrxmet  21835  rrxdstprj1  21836  ovolfiniun  21912  volfiniun  21957  fta1glem2  22567  fta1lem  22703  aannenlem2  22725  aalioulem2  22729  dchrfi  23530  usgrafilem2  24412  vdgrfiun  24902  konigsberg  24987  ffsrn  27552  eulerpartlemt  28310  ballotlemgun  28463  itg2addnclem2  30067  ftc1anclem7  30096  ftc1anc  30098  prdsbnd  30289  elrfi  30626  mzpcompact2lem  30684  eldioph2  30695  lsmfgcl  31020  fiuneneq  31154  fsumsplitsn  31571  fprodsplitsn  31592  dvmptfprodlem  31741  dvnprodlem2  31744  fourierdlem50  31939  fourierdlem51  31940  fourierdlem54  31943  fourierdlem76  31965  fourierdlem80  31969  fourierdlem102  31991  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem114  32003  fsummmodsnunz  32348  usgfislem2  32445  usgfisALTlem2  32449  mndpsuppfi  32968  pclfinN  35624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540