MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem1 Unicode version

Theorem unfilem1 7804
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unfilem1.1
unfilem1.2
unfilem1.3
Assertion
Ref Expression
unfilem1
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem unfilem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unfilem1.2 . . . . . . . . . 10
2 elnn 6710 . . . . . . . . . 10
31, 2mpan2 671 . . . . . . . . 9
4 unfilem1.1 . . . . . . . . . 10
5 nnaord 7287 . . . . . . . . . 10
61, 4, 5mp3an23 1316 . . . . . . . . 9
73, 6syl 16 . . . . . . . 8
87ibi 241 . . . . . . 7
9 nnaword1 7297 . . . . . . . . 9
10 nnord 6708 . . . . . . . . . . 11
114, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
12 nnacl 7279 . . . . . . . . . . 11
13 nnord 6708 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . 10
15 ordtri1 4916 . . . . . . . . . 10
1611, 14, 15sylancr 663 . . . . . . . . 9
179, 16mpbid 210 . . . . . . . 8
184, 3, 17sylancr 663 . . . . . . 7
198, 18jca 532 . . . . . 6
20 eleq1 2529 . . . . . . . 8
21 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
2221notbid 294 . . . . . . . 8
2320, 22anbi12d 710 . . . . . . 7
2423biimparc 487 . . . . . 6
2519, 24sylan 471 . . . . 5
2625rexlimiva 2945 . . . 4
274, 1nnacli 7282 . . . . . . . 8
28 elnn 6710 . . . . . . . 8
2927, 28mpan2 671 . . . . . . 7
30 nnord 6708 . . . . . . . . 9
31 ordtri1 4916 . . . . . . . . 9
3210, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . 8
33 nnawordex 7305 . . . . . . . 8
3432, 33bitr3d 255 . . . . . . 7
354, 29, 34sylancr 663 . . . . . 6
36 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
376, 36sylan9bb 699 . . . . . . . . 9
3837biimprcd 225 . . . . . . . 8
39 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11
4039biimpi 194 . . . . . . . . . 10
4140adantl 466 . . . . . . . . 9
4241a1i 11 . . . . . . . 8
4338, 42jcad 533 . . . . . . 7
4443reximdv2 2928 . . . . . 6
4535, 44sylbid 215 . . . . 5
4645imp 429 . . . 4
4726, 46impbii 188 . . 3
48 unfilem1.3 . . . 4
49 ovex 6324 . . . 4
5048, 49elrnmpti 5258 . . 3
51 eldif 3485 . . 3
5247, 50, 513bitr4i 277 . 2
5352eqriv 2453 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475  e.cmpt 4510  Ordword 4882  rancrn 5005  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146
This theorem is referenced by:  unfilem2  7805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator