Theorem unfilem2 7805

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unfilem1.1
unfilem1.2
unfilem1.3

Assertion

Ref	Expression
unfilem2

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem unfilem2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. . . . . 6
2		unfilem1.3	. . . . . 6
3	1, 2	fnmpti 5714	. . . . 5
4		unfilem1.1	. . . . . 6
5		unfilem1.2	. . . . . 6
6	4, 5, 2	unfilem1 7804	. . . . 5
7		df-fo 5599	. . . . 5
8	3, 6, 7	mpbir2an 920	. . . 4
9		fof 5800	. . . 4
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3
11		oveq2 6304	. . . . . . . 8
12		ovex 6324	. . . . . . . 8
13	11, 2, 12	fvmpt 5956	. . . . . . 7
14		oveq2 6304	. . . . . . . 8
15		ovex 6324	. . . . . . . 8
16	14, 2, 15	fvmpt 5956	. . . . . . 7
17	13, 16	eqeqan12d 2480	. . . . . 6
18		elnn 6710	. . . . . . . 8
19	5, 18	mpan2 671	. . . . . . 7
20		elnn 6710	. . . . . . . 8
21	5, 20	mpan2 671	. . . . . . 7
22		nnacan 7296	. . . . . . . 8
23	4, 22	mp3an1 1311	. . . . . . 7
24	19, 21, 23	syl2an 477	. . . . . 6
25	17, 24	bitrd 253	. . . . 5
26	25	biimpd 207	. . . 4
27	26	rgen2a 2884	. . 3
28		dff13 6166	. . 3
29	10, 27, 28	mpbir2an 920	. 2
30		df-f1o 5600	. 2
31	29, 8, 30	mpbir2an 920	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  \cdif 3472  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  coa 7146

This theorem is referenced by:  unfilem3  7806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153