Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem2 Unicode version

Theorem unfilem2 7805
 Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unfilem1.1
unfilem1.2
unfilem1.3
Assertion
Ref Expression
unfilem2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem unfilem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . . . . . 6
2 unfilem1.3 . . . . . 6
31, 2fnmpti 5714 . . . . 5
4 unfilem1.1 . . . . . 6
5 unfilem1.2 . . . . . 6
64, 5, 2unfilem1 7804 . . . . 5
7 df-fo 5599 . . . . 5
83, 6, 7mpbir2an 920 . . . 4
9 fof 5800 . . . 4
108, 9ax-mp 5 . . 3
11 oveq2 6304 . . . . . . . 8
12 ovex 6324 . . . . . . . 8
1311, 2, 12fvmpt 5956 . . . . . . 7
14 oveq2 6304 . . . . . . . 8
15 ovex 6324 . . . . . . . 8
1614, 2, 15fvmpt 5956 . . . . . . 7
1713, 16eqeqan12d 2480 . . . . . 6
18 elnn 6710 . . . . . . . 8
195, 18mpan2 671 . . . . . . 7
20 elnn 6710 . . . . . . . 8
215, 20mpan2 671 . . . . . . 7
22 nnacan 7296 . . . . . . . 8
234, 22mp3an1 1311 . . . . . . 7
2419, 21, 23syl2an 477 . . . . . 6
2517, 24bitrd 253 . . . . 5
2625biimpd 207 . . . 4
2726rgen2a 2884 . . 3
28 dff13 6166 . . 3
2910, 27, 28mpbir2an 920 . 2
30 df-f1o 5600 . 2
3129, 8, 30mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  \cdif 3472  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146 This theorem is referenced by:  unfilem3  7806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
 Copyright terms: Public domain W3C validator