MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem2 Unicode version

Theorem unfilem2 7662
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unfilem1.1
unfilem1.2
unfilem1.3
Assertion
Ref Expression
unfilem2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem unfilem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6199 . . . . . 6
2 unfilem1.3 . . . . . 6
31, 2fnmpti 5621 . . . . 5
4 unfilem1.1 . . . . . 6
5 unfilem1.2 . . . . . 6
64, 5, 2unfilem1 7661 . . . . 5
7 df-fo 5506 . . . . 5
83, 6, 7mpbir2an 911 . . . 4
9 fof 5702 . . . 4
108, 9ax-mp 5 . . 3
11 oveq2 6182 . . . . . . . 8
12 ovex 6199 . . . . . . . 8
1311, 2, 12fvmpt 5857 . . . . . . 7
14 oveq2 6182 . . . . . . . 8
15 ovex 6199 . . . . . . . 8
1614, 2, 15fvmpt 5857 . . . . . . 7
1713, 16eqeqan12d 2472 . . . . . 6
18 elnn 6570 . . . . . . . 8
195, 18mpan2 671 . . . . . . 7
20 elnn 6570 . . . . . . . 8
215, 20mpan2 671 . . . . . . 7
22 nnacan 7151 . . . . . . . 8
234, 22mp3an1 1302 . . . . . . 7
2419, 21, 23syl2an 477 . . . . . 6
2517, 24bitrd 253 . . . . 5
2625biimpd 207 . . . 4
2726rgen2a 2861 . . 3
28 dff13 6054 . . 3
2910, 27, 28mpbir2an 911 . 2
30 df-f1o 5507 . 2
3129, 8, 30mpbir2an 911 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  A.wral 2792  \cdif 3407  e.cmpt 4432  rancrn 4923  Fnwfn 5495  -->wf 5496  -1-1->wf1 5497  -onto->wfo 5498  -1-1-onto->wf1o 5499  `cfv 5500  (class class class)co 6174   com 6560   coa 7001
This theorem is referenced by:  unfilem3  7663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-oadd 7008
  Copyright terms: Public domain W3C validator