Theorem unielxp 6836

Description: The membership relation for a Cartesian product is inherited by union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unielxp

Proof of Theorem unielxp

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp7 6833	. 2
2		elvvuni 5065	. . . 4
3	2	adantr 465	. . 3
4		simprl 756	. . . . . 6
5		eleq2 2530	. . . . . . . 8
6		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
7		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
8	7	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
9		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
10	9	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
11	8, 10	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
12	6, 11	anbi12d 710	. . . . . . . 8
13	5, 12	anbi12d 710	. . . . . . 7
14	13	spcegv 3195	. . . . . 6
15	4, 14	mpcom 36	. . . . 5
16		eluniab 4260	. . . . 5
17	15, 16	sylibr 212	. . . 4
18		xp2 6835	. . . . . 6
19		df-rab 2816	. . . . . 6
20	18, 19	eqtri 2486	. . . . 5
21	20	unieqi 4258	. . . 4
22	17, 21	syl6eleqr 2556	. . 3
23	3, 22	mpancom 669	. 2
24	1, 23	sylbi 195	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  {crab 2811  cvv 3109  U.cuni 4249  X.cxp 5002  `cfv 5593  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801