MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unielxp Unicode version

Theorem unielxp 6836
Description: The membership relation for a Cartesian product is inherited by union. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
unielxp

Proof of Theorem unielxp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp7 6833 . 2
2 elvvuni 5065 . . . 4
32adantr 465 . . 3
4 simprl 756 . . . . . 6
5 eleq2 2530 . . . . . . . 8
6 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
7 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
87eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
9 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
109eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
118, 10anbi12d 710 . . . . . . . . 9
126, 11anbi12d 710 . . . . . . . 8
135, 12anbi12d 710 . . . . . . 7
1413spcegv 3195 . . . . . 6
154, 14mpcom 36 . . . . 5
16 eluniab 4260 . . . . 5
1715, 16sylibr 212 . . . 4
18 xp2 6835 . . . . . 6
19 df-rab 2816 . . . . . 6
2018, 19eqtri 2486 . . . . 5
2120unieqi 4258 . . . 4
2217, 21syl6eleqr 2556 . . 3
233, 22mpancom 669 . 2
241, 23sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  {crab 2811   cvv 3109  U.cuni 4249  X.cxp 5002  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator