MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniimadom Unicode version

Theorem uniimadom 8940
Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
uniimadom.1
uniimadom.2
Assertion
Ref Expression
uniimadom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem uniimadom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniimadom.1 . . . . 5
21funimaex 5671 . . . 4
32adantr 465 . . 3
4 fvelima 5925 . . . . . . . 8
54ex 434 . . . . . . 7
6 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
76biimpd 207 . . . . . . . . 9
87reximi 2925 . . . . . . . 8
9 r19.36v 3005 . . . . . . . 8
108, 9syl 16 . . . . . . 7
115, 10syl6 33 . . . . . 6
1211com23 78 . . . . 5
1312imp 429 . . . 4
1413ralrimiv 2869 . . 3
15 unidom 8939 . . 3
163, 14, 15syl2anc 661 . 2
17 imadomg 8933 . . . . 5
181, 17ax-mp 5 . . . 4
19 uniimadom.2 . . . . 5
2019xpdom1 7636 . . . 4
2118, 20syl 16 . . 3
2221adantr 465 . 2
23 domtr 7588 . 2
2416, 22, 23syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593   cdom 7534
This theorem is referenced by:  uniimadomf  8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator