Theorem uniinqs 7410

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4269. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1

Assertion

Ref	Expression
uniinqs

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4269	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		eluni2 4253	. . . . . 6
4		eluni2 4253	. . . . . 6
5	3, 4	anbi12i 697	. . . . 5
6		elin 3686	. . . . 5
7		reeanv 3025	. . . . 5
8	5, 6, 7	3bitr4i 277	. . . 4
9		simp3l 1024	. . . . . . 7
10		simp2l 1022	. . . . . . . 8
11		inelcm 3881	. . . . . . . . . . 11
12	11	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
15		simp1l 1020	. . . . . . . . . . . . . 14
16	15, 10	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . 13
17		simp1r 1021	. . . . . . . . . . . . . 14
18		simp2r 1023	. . . . . . . . . . . . . 14
19	17, 18	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . 13
20	14, 16, 19	qsdisj 7407	. . . . . . . . . . . 12
21	20	ord 377	. . . . . . . . . . 11
22	21	necon1ad 2673	. . . . . . . . . 10
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9
24	23, 18	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
25	10, 24	elind 3687	. . . . . . 7
26		elunii 4254	. . . . . . 7
27	9, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . 6
28	27	3expia 1198	. . . . 5
29	28	rexlimdvva 2956	. . . 4
30	8, 29	syl5bi 217	. . 3
31	30	ssrdv 3509	. 2
32	2, 31	eqssd 3520	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  Erwer 7327  /.cqs 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336