MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniinqs Unicode version

Theorem uniinqs 7410
Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4269. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
uniinqs.1
Assertion
Ref Expression
uniinqs

Proof of Theorem uniinqs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniin 4269 . . 3
21a1i 11 . 2
3 eluni2 4253 . . . . . 6
4 eluni2 4253 . . . . . 6
53, 4anbi12i 697 . . . . 5
6 elin 3686 . . . . 5
7 reeanv 3025 . . . . 5
85, 6, 73bitr4i 277 . . . 4
9 simp3l 1024 . . . . . . 7
10 simp2l 1022 . . . . . . . 8
11 inelcm 3881 . . . . . . . . . . 11
12113ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
13 uniinqs.1 . . . . . . . . . . . . . 14
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
15 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . 14
1615, 10sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . 13
17 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . 14
18 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . 13
2014, 16, 19qsdisj 7407 . . . . . . . . . . . 12
2120ord 377 . . . . . . . . . . 11
2221necon1ad 2673 . . . . . . . . . 10
2312, 22mpd 15 . . . . . . . . 9
2423, 18eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
2510, 24elind 3687 . . . . . . 7
26 elunii 4254 . . . . . . 7
279, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6
28273expia 1198 . . . . 5
2928rexlimdvva 2956 . . . 4
308, 29syl5bi 217 . . 3
3130ssrdv 3509 . 2
322, 31eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  Erwer 7327  /.cqs 7329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336
  Copyright terms: Public domain W3C validator