MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniintsn Unicode version

Theorem uniintsn 4324
Description: Two ways to express " is a singleton." See also en1 7602, en1b 7603, card1 8370, and eusn 4106. (Contributed by NM, 2-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
uniintsn
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem uniintsn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vn0 3792 . . . . . 6
2 inteq 4289 . . . . . . . . . . 11
3 int0 4300 . . . . . . . . . . 11
42, 3syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
54adantl 466 . . . . . . . . 9
6 unieq 4257 . . . . . . . . . . . 12
7 uni0 4276 . . . . . . . . . . . 12
86, 7syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
9 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl5ib 219 . . . . . . . . . 10
1110imp 429 . . . . . . . . 9
125, 11eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
1312ex 434 . . . . . . 7
1413necon3d 2681 . . . . . 6
151, 14mpi 17 . . . . 5
16 n0 3794 . . . . 5
1715, 16sylib 196 . . . 4
18 vex 3112 . . . . . . 7
19 vex 3112 . . . . . . 7
2018, 19prss 4184 . . . . . 6
21 uniss 4270 . . . . . . . . . . . . 13
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23sseqtrd 3539 . . . . . . . . . . 11
25 intss 4307 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2724, 26sstrd 3513 . . . . . . . . . 10
2818, 19unipr 4262 . . . . . . . . . 10
2918, 19intpr 4320 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 293sstr3g 3543 . . . . . . . . 9
31 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
32 ssun1 3666 . . . . . . . . . 10
3331, 32sstri 3512 . . . . . . . . 9
3430, 33jctir 538 . . . . . . . 8
35 eqss 3518 . . . . . . . . 9
36 uneqin 3748 . . . . . . . . 9
3735, 36bitr3i 251 . . . . . . . 8
3834, 37sylib 196 . . . . . . 7
3938ex 434 . . . . . 6
4020, 39syl5bi 217 . . . . 5
4140alrimivv 1720 . . . 4
4217, 41jca 532 . . 3
43 euabsn 4102 . . . 4
44 eleq1 2529 . . . . 5
4544eu4 2338 . . . 4
46 abid2 2597 . . . . . 6
4746eqeq1i 2464 . . . . 5
4847exbii 1667 . . . 4
4943, 45, 483bitr3i 275 . . 3
5042, 49sylib 196 . 2
5118unisn 4264 . . . 4
52 unieq 4257 . . . 4
53 inteq 4289 . . . . 5
5418intsn 4323 . . . . 5
5553, 54syl6eq 2514 . . . 4
5651, 52, 553eqtr4a 2524 . . 3
5756exlimiv 1722 . 2
5850, 57impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  U.cuni 4249  |^|cint 4286
This theorem is referenced by:  uniintab  4325  reusv6OLD  4663  reusv7OLD  4664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032  df-uni 4250  df-int 4287
  Copyright terms: Public domain W3C validator