MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniwf Unicode version

Theorem uniwf 8258
Description: A union is well-founded iff the base set is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
uniwf

Proof of Theorem uniwf
StepHypRef Expression
1 r1tr 8215 . . . . . . . 8
2 rankidb 8239 . . . . . . . 8
3 trss 4554 . . . . . . . 8
41, 2, 3mpsyl 63 . . . . . . 7
5 rankdmr1 8240 . . . . . . . 8
6 r1sucg 8208 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
84, 7syl6sseq 3549 . . . . . 6
9 sspwuni 4416 . . . . . 6
108, 9sylib 196 . . . . 5
11 fvex 5881 . . . . . 6
1211elpw2 4616 . . . . 5
1310, 12sylibr 212 . . . 4
1413, 7syl6eleqr 2556 . . 3
15 r1elwf 8235 . . 3
1614, 15syl 16 . 2
17 pwwf 8246 . . 3
18 pwuni 4683 . . . 4
19 sswf 8247 . . . 4
2018, 19mpan2 671 . . 3
2117, 20sylbi 195 . 2
2216, 21impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Trwtr 4545   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202
This theorem is referenced by:  rankuni2b  8292  r1limwun  9135  wfgru  9215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator