Theorem unixp 5545

Description: The double class union of a nonempty Cartesian product is the union of it members. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unixp

Proof of Theorem unixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5115	. . 3
2		relfld 5538	. . 3
3	1, 2	ax-mp 5	. 2
4		xpeq2 5019	. . . . 5
5		xp0 5430	. . . . 5
6	4, 5	syl6eq 2514	. . . 4
7	6	necon3i 2697	. . 3
8		xpeq1 5018	. . . . 5
9		0xp 5085	. . . . 5
10	8, 9	syl6eq 2514	. . . 4
11	10	necon3i 2697	. . 3
12		dmxp 5226	. . . 4
13		rnxp 5442	. . . 4
14		uneq12 3652	. . . 4
15	12, 13, 14	syl2an 477	. . 3
16	7, 11, 15	syl2anc 661	. 2
17	3, 16	syl5eq 2510	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  =/=wne 2652  u.cun 3473  c0 3784  U.cuni 4249  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009

This theorem is referenced by:  unixpid  5547  rankxpl  8314  rankxplim2  8319  rankxplim3  8320  rankxpsuc  8321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015