HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Unicode version

Theorem unopf1o 23455
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 23411 . . . . 5
21simplbi 448 . . . 4
3 fof 5704 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 unop 23454 . . . . . . . . . . . . 13
653anidm23 1244 . . . . . . . . . . . 12
763adant3 978 . . . . . . . . . . 11
8 unop 23454 . . . . . . . . . . . . 13
983anidm23 1244 . . . . . . . . . . . 12
1093adant2 977 . . . . . . . . . . 11
117, 10oveq12d 6151 . . . . . . . . . 10
12 unop 23454 . . . . . . . . . . 11
13 unop 23454 . . . . . . . . . . . 12
14133com23 1160 . . . . . . . . . . 11
1512, 14oveq12d 6151 . . . . . . . . . 10
1611, 15oveq12d 6151 . . . . . . . . 9
17163expb 1155 . . . . . . . 8
18 ffvelrn 5920 . . . . . . . . . . 11
19 ffvelrn 5920 . . . . . . . . . . 11
2018, 19anim12dan 812 . . . . . . . . . 10
214, 20sylan 459 . . . . . . . . 9
22 normlem9at 22659 . . . . . . . . 9
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8
24 normlem9at 22659 . . . . . . . . 9
2524adantl 454 . . . . . . . 8
2617, 23, 253eqtr4rd 2490 . . . . . . 7
2726eqeq1d 2455 . . . . . 6
28 hvsubcl 22556 . . . . . . . . 9
29 his6 22637 . . . . . . . . 9
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8
31 hvsubeq0 22606 . . . . . . . 8
3230, 31bitrd 246 . . . . . . 7
3332adantl 454 . . . . . 6
34 hvsubcl 22556 . . . . . . . . 9
35 his6 22637 . . . . . . . . 9
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8
37 hvsubeq0 22606 . . . . . . . 8
3836, 37bitrd 246 . . . . . . 7
3921, 38syl 16 . . . . . 6
4027, 33, 393bitr3rd 277 . . . . 5
4140biimpd 200 . . . 4
4241ralrimivva 2809 . . 3
43 dff13 6056 . . 3
444, 42, 43sylanbrc 647 . 2
45 df-f1o 5512 . 2
4644, 2, 45sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2716  -->wf 5501  -1-1->wf1 5502  -onto->wfo 5503  -1-1-onto->wf1o 5504  `cfv 5505  (class class class)co 6133  0cc0 9045   caddc 9048   cmin 9346   chil 22458   csp 22461   c0v 22463   cmv 22464   cuo 22488
This theorem is referenced by:  unopnorm  23456  cnvunop  23457  unopadj  23458  unoplin  23459  counop  23460  unopbd  23554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-rep 4358  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746  ax-resscn 9102  ax-1cn 9103  ax-icn 9104  ax-addcl 9105  ax-addrcl 9106  ax-mulcl 9107  ax-mulrcl 9108  ax-mulcom 9109  ax-addass 9110  ax-mulass 9111  ax-distr 9112  ax-i2m1 9113  ax-1ne0 9114  ax-1rid 9115  ax-rnegex 9116  ax-rrecex 9117  ax-cnre 9118  ax-pre-lttri 9119  ax-pre-lttrn 9120  ax-pre-ltadd 9121  ax-pre-mulgt0 9122  ax-hilex 22538  ax-hfvadd 22539  ax-hvcom 22540  ax-hvass 22541  ax-hv0cl 22542  ax-hvaddid 22543  ax-hfvmul 22544  ax-hvmulid 22545  ax-hvdistr2 22548  ax-hvmul0 22549  ax-hfi 22617  ax-his1 22620  ax-his2 22621  ax-his3 22622  ax-his4 22623
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rmo 2724  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-op 3854  df-uni 4048  df-iun 4128  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-id 4543  df-po 4548  df-so 4549  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-ov 6136  df-oprab 6137  df-mpt2 6138  df-riota 6603  df-er 6958  df-en 7163  df-dom 7164  df-sdom 7165  df-pnf 9177  df-mnf 9178  df-xr 9179  df-ltxr 9180  df-le 9181  df-sub 9348  df-neg 9349  df-div 9733  df-2 10113  df-cj 11959  df-re 11960  df-im 11961  df-hvsub 22510  df-unop 23382
  Copyright terms: Public domain W3C validator