Theorem unwdomg 8031

Description: Weak dominance of a (disjoint) union. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unwdomg

Proof of Theorem unwdomg

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom3i 8030	. . 3
2	1	3ad2ant1 1017	. 2
3		brwdom3i 8030	. . . . 5
4	3	3ad2ant2 1018	. . . 4
5	4	adantr 465	. . 3
6		relwdom 8013	. . . . . . . . . 10
7	6	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
8	6	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
9		unexg 6601	. . . . . . . . 9
10	7, 8, 9	syl2an 477	. . . . . . . 8
11	10	3adant3 1016	. . . . . . 7
12	11	adantr 465	. . . . . 6
13	6	brrelex2i 5046	. . . . . . . . 9
14	6	brrelex2i 5046	. . . . . . . . 9
15		unexg 6601	. . . . . . . . 9
16	13, 14, 15	syl2an 477	. . . . . . . 8
17	16	3adant3 1016	. . . . . . 7
18	17	adantr 465	. . . . . 6
19		elun 3644	. . . . . . . . . 10
20		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	20	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	23	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	24	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27		iftrue 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
28	27	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29	28	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30	29	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	30	reximia 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32		ssrexv 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	26, 31, 32	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	25, 33	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	22, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12
38	37	adantll 713	. . . . . . . . . . 11
39		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	41	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	42	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44	40, 43	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	44	rspccva 3209	. . . . . . . . . . . . . 14
46		ssun2 3667	. . . . . . . . . . . . . . 15
47		minel 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
48	47	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
49	48	iffalsed 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50	49	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	50	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	51	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	52	reximdva 2932	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	53	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15
55		ssrexv 3564	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	46, 54, 55	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . 14
57	45, 56	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13
58	57	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12
59	58	adantlrl 719	. . . . . . . . . . 11
60	38, 59	jaodan 785	. . . . . . . . . 10
61	19, 60	sylan2b 475	. . . . . . . . 9
62	61	expl 618	. . . . . . . 8
63	62	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7
64	63	impl 620	. . . . . 6
65	12, 18, 64	wdom2d 8027	. . . . 5
66	65	expr 615	. . . 4
67	66	exlimdv 1724	. . 3
68	5, 67	mpd 15	. 2
69	2, 68	exlimddv 1726	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  cwdom 8004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006