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Theorem unwdomg 8031
Description: Weak dominance of a (disjoint) union. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
unwdomg

Proof of Theorem unwdomg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 8030 . . 3
213ad2ant1 1017 . 2
3 brwdom3i 8030 . . . . 5
433ad2ant2 1018 . . . 4
54adantr 465 . . 3
6 relwdom 8013 . . . . . . . . . 10
76brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
86brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
9 unexg 6601 . . . . . . . . 9
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . 8
11103adant3 1016 . . . . . . 7
1211adantr 465 . . . . . 6
136brrelex2i 5046 . . . . . . . . 9
146brrelex2i 5046 . . . . . . . . 9
15 unexg 6601 . . . . . . . . 9
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . 8
17163adant3 1016 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
19 elun 3644 . . . . . . . . . 10
20 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2928eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130reximia 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3326, 31, 32mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3425, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3635ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
3837adantll 713 . . . . . . . . . . 11
39 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4440, 43syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . 14
46 ssun2 3667 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 minel 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4948iffalsed 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5049fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5150eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . . . . . 15
5646, 54, 55mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14
5745, 56sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
5857anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12
5958adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11
6038, 59jaodan 785 . . . . . . . . . 10
6119, 60sylan2b 475 . . . . . . . . 9
6261expl 618 . . . . . . . 8
63623ad2ant3 1019 . . . . . . 7
6463impl 620 . . . . . 6
6512, 18, 64wdom2d 8027 . . . . 5
6665expr 615 . . . 4
6766exlimdv 1724 . . 3
685, 67mpd 15 . 2
692, 68exlimddv 1726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593   cwdom 8004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006
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