Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unwf Unicode version

Theorem unwf 8249
 Description: A binary union is well-founded iff its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
unwf

Proof of Theorem unwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 8243 . . . . . . . 8
21adantr 465 . . . . . . 7
3 ssun1 3666 . . . . . . . 8
4 rankdmr1 8240 . . . . . . . . 9
5 r1funlim 8205 . . . . . . . . . . . 12
65simpri 462 . . . . . . . . . . 11
7 limord 4942 . . . . . . . . . . 11
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
9 rankdmr1 8240 . . . . . . . . . 10
10 ordunel 6662 . . . . . . . . . 10
118, 4, 9, 10mp3an 1324 . . . . . . . . 9
12 r1ord3g 8218 . . . . . . . . 9
134, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . 8
143, 13ax-mp 5 . . . . . . 7
152, 14syl6ss 3515 . . . . . 6
16 r1rankidb 8243 . . . . . . . 8
1716adantl 466 . . . . . . 7
18 ssun2 3667 . . . . . . . 8
19 r1ord3g 8218 . . . . . . . . 9
209, 11, 19mp2an 672 . . . . . . . 8
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7
2217, 21syl6ss 3515 . . . . . 6
2315, 22unssd 3679 . . . . 5
24 fvex 5881 . . . . . 6
2524elpw2 4616 . . . . 5
2623, 25sylibr 212 . . . 4
27 r1sucg 8208 . . . . 5
2811, 27ax-mp 5 . . . 4
2926, 28syl6eleqr 2556 . . 3
30 r1elwf 8235 . . 3
3129, 30syl 16 . 2
32 ssun1 3666 . . . 4
33 sswf 8247 . . . 4
3432, 33mpan2 671 . . 3
35 ssun2 3667 . . . 4
36 sswf 8247 . . . 4
3735, 36mpan2 671 . . 3
3834, 37jca 532 . 2
3931, 38impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593   cr1 8201   crnk 8202 This theorem is referenced by:  prwf  8250  rankunb  8289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator