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Theorem unxpdomlem3 7746
Description: Lemma for unxpdom 7747. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unxpdomlem1.1
unxpdomlem1.2
Assertion
Ref Expression
unxpdomlem3
Distinct variable group:   , , , , , ,

Proof of Theorem unxpdomlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . 3
2 1sdom 7742 . . 3
31, 2ax-mp 5 . 2
4 vex 3112 . . 3
5 1sdom 7742 . . 3
64, 5ax-mp 5 . 2
7 reeanv 3025 . . 3
8 reeanv 3025 . . . . 5
9 unxpdomlem1.2 . . . . . . . . . . 11
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
11 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15
1311, 12ifcld 3984 . . . . . . . . . . . . . 14
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
15 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . . 13
1610, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
17 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18ifcld 3984 . . . . . . . . . . . . . 14
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 elun 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
2423orcanai 913 . . . . . . . . . . . . 13
25 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . . 13
2620, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
2716, 26ifclda 3973 . . . . . . . . . . 11
289, 27syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10
29 unxpdomlem1.1 . . . . . . . . . 10
3028, 29fmptd 6055 . . . . . . . . 9
3129, 9unxpdomlem1 7744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3532, 34sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . 14
3629, 9unxpdomlem1 7744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
4037, 39sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . 14
4135, 40eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13
42 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
43 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
4543, 44ifex 4010 . . . . . . . . . . . . . 14
4642, 45opth1 4725 . . . . . . . . . . . . 13
4741, 46syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12
48 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
49 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14
50 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
5129, 9, 48, 49, 50unxpdomlem2 7745 . . . . . . . . . . . . 13
5251pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12
53 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . 13
54 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5529, 9, 54, 49, 50unxpdomlem2 7745 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655ancom2s 802 . . . . . . . . . . . . . 14
5756pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . 13
5853, 57syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
59 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6132, 60sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . 14
62 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
6437, 63sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . 14
6561, 64eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13
66 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 67ifex 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968, 42opth 4726 . . . . . . . . . . . . . 14
7069simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13
7165, 70syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12
7247, 52, 58, 714casesdan 950 . . . . . . . . . . 11
7372ralrimivva 2878 . . . . . . . . . 10
74733ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
75 dff13 6166 . . . . . . . . 9
7630, 74, 75sylanbrc 664 . . . . . . . 8
771, 4unex 6598 . . . . . . . . 9
781, 4xpex 6604 . . . . . . . . 9
79 f1dom2g 7553 . . . . . . . . 9
8077, 78, 79mp3an12 1314 . . . . . . . 8
8176, 80syl 16 . . . . . . 7
82813expia 1198 . . . . . 6
8382rexlimdvva 2956 . . . . 5
848, 83syl5bir 218 . . . 4
8584rexlimivv 2954 . . 3
867, 85sylbir 213 . 2
873, 6, 86syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593   c1o 7142   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  unxpdom  7747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
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