Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpwdom Unicode version

Theorem unxpwdom 8036
 Description: If a Cartesian product is dominated by a union, then the base set is either weakly dominated by one factor of the union or dominated by the other. Extracted from Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpwdom

Proof of Theorem unxpwdom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7542 . . . . 5
21brrelex2i 5046 . . . 4
3 domeng 7550 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
54ibi 241 . 2
6 simprl 756 . . . . 5
7 indi 3743 . . . . . 6
8 simprr 757 . . . . . . 7
9 df-ss 3489 . . . . . . 7
108, 9sylib 196 . . . . . 6
117, 10syl5eqr 2512 . . . . 5
126, 11breqtrrd 4478 . . . 4
13 unxpwdom2 8035 . . . 4
1412, 13syl 16 . . 3
15 ssun1 3666 . . . . . . . 8
162adantr 465 . . . . . . . 8
17 ssexg 4598 . . . . . . . 8
1815, 16, 17sylancr 663 . . . . . . 7
19 inss2 3718 . . . . . . 7
20 ssdomg 7581 . . . . . . 7
2118, 19, 20mpisyl 18 . . . . . 6
22 domwdom 8021 . . . . . 6
2321, 22syl 16 . . . . 5
24 wdomtr 8022 . . . . . 6
2524expcom 435 . . . . 5
2623, 25syl 16 . . . 4
27 ssun2 3667 . . . . . . 7
28 ssexg 4598 . . . . . . 7
2927, 16, 28sylancr 663 . . . . . 6
30 inss2 3718 . . . . . 6
31 ssdomg 7581 . . . . . 6
3229, 30, 31mpisyl 18 . . . . 5
33 domtr 7588 . . . . . 6
3433expcom 435 . . . . 5
3532, 34syl 16 . . . 4
3626, 35orim12d 838 . . 3
3714, 36mpd 15 . 2
385, 37exlimddv 1726 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  X.cxp 5002   cen 7533   cdom 7534   cwdom 8004 This theorem is referenced by:  pwcdadom  8617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006
 Copyright terms: Public domain W3C validator