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Theorem unxpwdom2 8035
Description: Lemma for unxpwdom 8036. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpwdom2

Proof of Theorem unxpwdom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7584 . 2
2 bren 7545 . . 3
3 ssdif0 3885 . . . . . 6
4 dmxpid 5227 . . . . . . . . . . . . . 14
5 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 forn 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98rnex 6734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107, 9syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 dmexg 6731 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
134, 12syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . . 13
14 imassrn 5353 . . . . . . . . . . . . . 14
15 f1stres 6822 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 fco 5746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1815, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2114, 20syl5ss 3514 . . . . . . . . . . . . 13
2213, 21ssexd 4599 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 465 . . . . . . . . . . 11
24 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
25 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . 11
2623, 24, 25sylc 60 . . . . . . . . . 10
27 domwdom 8021 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9
29 ffun 5738 . . . . . . . . . . . 12
3018, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11
31 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . 12
32 f1odm 5825 . . . . . . . . . . . . 13
338dmex 6733 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . 12
35 ssexg 4598 . . . . . . . . . . . 12
3631, 34, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
37 wdomima2g 8033 . . . . . . . . . . 11
3830, 36, 22, 37syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
3938adantr 465 . . . . . . . . 9
40 wdomtr 8022 . . . . . . . . 9
4128, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8
4241orcd 392 . . . . . . 7
4342ex 434 . . . . . 6
443, 43syl5bir 218 . . . . 5
45 n0 3794 . . . . . 6
46 ssun2 3667 . . . . . . . . . . . . 13
47 ssexg 4598 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 34, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11
50 f1ofn 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . . 15
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
54 elun 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 df-or 370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
60 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6131, 60sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
62 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6665snssd 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
67 xpss1 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7169, 70sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
72 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
74 xp1st 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7570, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7673, 75eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7963, 78eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8118, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84 fnfvima 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8582, 83, 60, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8679, 85eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8858, 87mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . 15
9156, 90syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14
9291impd 431 . . . . . . . . . . . . 13
9353, 92sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12
9493ssrdv 3509 . . . . . . . . . . 11
95 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . 11
9649, 94, 95sylc 60 . . . . . . . . . 10
97 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . . 15
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
10134adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
102 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . 14
10313adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
104 xpexg 6602 . . . . . . . . . . . . . 14
105102, 103, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
106 f1imaen2g 7596 . . . . . . . . . . . . 13
107100, 101, 68, 105, 106syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12
108 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
109 xpsnen2g 7630 . . . . . . . . . . . . 13
110108, 103, 109sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
111 entr 7587 . . . . . . . . . . . 12
112107, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
113 domen1 7679 . . . . . . . . . . 11
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10
11596, 114mpbid 210 . . . . . . . . 9
116115olcd 393 . . . . . . . 8
117116ex 434 . . . . . . 7
118117exlimdv 1724 . . . . . 6
11945, 118syl5bi 217 . . . . 5
12044, 119pm2.61dne 2774 . . . 4
121120exlimiv 1722 . . 3
1222, 121sylbi 195 . 2
1231, 122syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   c1st 6798   cen 7533   cdom 7534   cwdom 8004
This theorem is referenced by:  unxpwdom  8036  ttac  30978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006
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