MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1v Unicode version

Theorem usgra1v 21445
Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1v

Proof of Theorem usgra1v
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 21407 . . . . 5
2 isusgra 21409 . . . . . . . . 9
32adantr 453 . . . . . . . 8
4 eqidd 2448 . . . . . . . . . 10
5 eqidd 2448 . . . . . . . . . 10
6 pwsn 4041 . . . . . . . . . . . . . 14
76difeq1i 3454 . . . . . . . . . . . . 13
8 snnzg 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15
109adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
11 difprsn1 3967 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
137, 12syl5eq 2491 . . . . . . . . . . . 12
14 biidd 230 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14rabeqbidv 2964 . . . . . . . . . . 11
16 hashsng 11702 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 1ne2 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18 neeq1 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1917, 18mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
22 2ne0 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322necomi 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 snprc 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827fveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 hash0 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3028, 29syl6eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
3225, 31mtbird 294 . . . . . . . . . . . . . 14
3321, 32pm2.61i 159 . . . . . . . . . . . . 13
34 snex 4448 . . . . . . . . . . . . . 14
35 fveq2 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736notbid 287 . . . . . . . . . . . . . 14
3834, 37ralsn 3881 . . . . . . . . . . . . 13
3933, 38mpbir 202 . . . . . . . . . . . 12
40 rabeq0 3641 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40mpbir 202 . . . . . . . . . . 11
4215, 41syl6eq 2495 . . . . . . . . . 10
434, 5, 42f1eq123d 5720 . . . . . . . . 9
44 f1f 5690 . . . . . . . . . 10
45 f00 5679 . . . . . . . . . . 11
4645simplbi 448 . . . . . . . . . 10
4744, 46syl 16 . . . . . . . . 9
4843, 47syl6bi 221 . . . . . . . 8
493, 48sylbid 208 . . . . . . 7
5049ex 425 . . . . . 6
5150com23 75 . . . . 5
521, 51mpcom 35 . . . 4
5352com12 30 . . 3
54 usgra0 21426 . . . . 5
5534, 54ax-mp 5 . . . 4
56 breq2 4251 . . . 4
5755, 56mpbiri 226 . . 3
5853, 57impbid1 196 . 2
59 breq1 4250 . . . 4
60 usgra0v 21427 . . . 4
6159, 60syl6bb 254 . . 3
6226, 61sylbi 189 . 2
6358, 62pm2.61i 159 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2610  A.wral 2716  {crab 2720   cvv 2969  \cdif 3310   c0 3620  ~Pcpw 3830  {csn 3845  {cpr 3846   class class class wbr 4247  domcdm 4923  -->wf 5501  -1-1->wf1 5502  `cfv 5505  0cc0 9045  1c1 9046  2c2 10104   chash 11673   cusg 21401
This theorem is referenced by:  usgrafisindb1  21459  vdfrgra0  28806  vdgfrgra0  28807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746  ax-cnex 9101  ax-resscn 9102  ax-1cn 9103  ax-icn 9104  ax-addcl 9105  ax-addrcl 9106  ax-mulcl 9107  ax-mulrcl 9108  ax-mulcom 9109  ax-addass 9110  ax-mulass 9111  ax-distr 9112  ax-i2m1 9113  ax-1ne0 9114  ax-1rid 9115  ax-rnegex 9116  ax-rrecex 9117  ax-cnre 9118  ax-pre-lttri 9119  ax-pre-lttrn 9120  ax-pre-ltadd 9121  ax-pre-mulgt0 9122
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-tp 3853  df-op 3854  df-uni 4048  df-int 4084  df-iun 4128  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-tr 4341  df-eprel 4539  df-id 4543  df-po 4548  df-so 4549  df-fr 4586  df-we 4588  df-ord 4629  df-on 4630  df-lim 4631  df-suc 4632  df-om 4891  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-ov 6136  df-oprab 6137  df-mpt2 6138  df-1st 6403  df-2nd 6404  df-riota 6603  df-recs 6686  df-rdg 6721  df-1o 6777  df-er 6958  df-en 7163  df-dom 7164  df-sdom 7165  df-fin 7166  df-card 7881  df-pnf 9177  df-mnf 9178  df-xr 9179  df-ltxr 9180  df-le 9181  df-sub 9348  df-neg 9349  df-nn 10056  df-2 10113  df-n0 10277  df-z 10338  df-uz 10544  df-fz 11099  df-hash 11674  df-usgra 21403
  Copyright terms: Public domain W3C validator