MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1v Unicode version

Theorem usgra1v 21401
Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1v

Proof of Theorem usgra1v
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 21363 . . . . 5
2 isusgra 21365 . . . . . . . . 9
32adantr 452 . . . . . . . 8
4 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10
5 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10
6 pwsn 4001 . . . . . . . . . . . . . 14
76difeq1i 3453 . . . . . . . . . . . . 13
8 snnzg 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . 15
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
11 difprsn1 3927 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
137, 12syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12
14 biidd 229 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14rabeqbidv 2943 . . . . . . . . . . 11
16 hashsng 11639 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 1ne2 10179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1917, 18mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
22 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322necomi 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 snprc 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 hash0 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3028, 29syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15
3225, 31mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . 14
3321, 32pm2.61i 158 . . . . . . . . . . . . 13
34 snex 4397 . . . . . . . . . . . . . 14
35 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14
3834, 37ralsn 3841 . . . . . . . . . . . . 13
3933, 38mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12
40 rabeq0 3641 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40mpbir 201 . . . . . . . . . . 11
4215, 41syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10
434, 5, 42f1eq123d 5661 . . . . . . . . 9
44 f1f 5631 . . . . . . . . . 10
45 f00 5620 . . . . . . . . . . 11
4645simplbi 447 . . . . . . . . . 10
4744, 46syl 16 . . . . . . . . 9
4843, 47syl6bi 220 . . . . . . . 8
493, 48sylbid 207 . . . . . . 7
5049ex 424 . . . . . 6
5150com23 74 . . . . 5
521, 51mpcom 34 . . . 4
5352com12 29 . . 3
54 usgra0 21382 . . . . 5
5534, 54ax-mp 8 . . . 4
56 breq2 4208 . . . 4
5755, 56mpbiri 225 . . 3
5853, 57impbid1 195 . 2
59 breq1 4207 . . . 4
60 usgra0v 21383 . . . 4
6159, 60syl6bb 253 . . 3
6226, 61sylbi 188 . 2
6358, 62pm2.61i 158 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 177  /\wa 359  =wceq 1652  e.wcel 1725  =/=wne 2598  A.wral 2697  {crab 2701   cvv 2948  \cdif 3309   c0 3620  ~Pcpw 3791  {csn 3806  {cpr 3807   class class class wbr 4204  domcdm 4870  -->wf 5442  -1-1->wf1 5443  `cfv 5446  0cc0 8982  1c1 8983  2c2 10041   chash 11610   cusg 21357
This theorem is referenced by:  usgrafisindb1  21415  vdfrgra0  28349  vdgfrgra0  28350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-usgra 21359
  Copyright terms: Public domain W3C validator