MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrcyclnl1 Unicode version

Theorem usgrcyclnl1 23995
Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 1 (consisting of one edge ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl1

Proof of Theorem usgrcyclnl1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 23987 . . 3
2 wlkbprop 23902 . . . 4
3 iscycl 23980 . . . . . 6
433adant1 1006 . . . . 5
5 pthistrl 23940 . . . . . . . 8
6 trliswlk 23907 . . . . . . . 8
75, 6syl 16 . . . . . . 7
8 usgrnloop 23931 . . . . . . . . . . 11
9 nne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 0z 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11 1z 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 0lt1 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13 fzolb 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1410, 11, 12, 13mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1614, 15syl5eleqr 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1716anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1817ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2019impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22 oveq1 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2322fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2421, 23neeq12d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524rspccva 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2620, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 0p1e1 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2928eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3027, 29syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3130fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231neeq2d 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 df-ne 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3432, 33syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3526, 34syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16
389, 37sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14
4039con4d 105 . . . . . . . . . . . . 13
4140ex 434 . . . . . . . . . . . 12
4241com23 78 . . . . . . . . . . 11
438, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
4443ex 434 . . . . . . . . 9
4544com14 88 . . . . . . . 8
46453ad2ant1 1009 . . . . . . 7
477, 46syl5 32 . . . . . 6
4847impd 431 . . . . 5
494, 48sylbid 215 . . . 4
502, 49syl 16 . . 3
511, 50mpcom 36 . 2
5251impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800   cvv 3081   class class class wbr 4409  `cfv 5537  (class class class)co 6222  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   clt 9555   cn0 10717   cz 10784   cfzo 11693   chash 12260   cusg 23733   cwalk 23874   ctrail 23875   cpath 23876   ccycl 23883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-hash 12261  df-word 12387  df-usgra 23735  df-wlk 23884  df-trail 23885  df-pth 23886  df-cycl 23889
  Copyright terms: Public domain W3C validator