MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrcyclnl1 Unicode version

Theorem usgrcyclnl1 23205
Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 1 (consisting of one edge ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl1

Proof of Theorem usgrcyclnl1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 23197 . . 3
2 wlkbprop 23112 . . . 4
3 iscycl 23190 . . . . . 6
433adant1 991 . . . . 5
5 pthistrl 23150 . . . . . . . 8
6 trliswlk 23117 . . . . . . . 8
75, 6syl 16 . . . . . . 7
8 usgrnloop 23141 . . . . . . . . . . 11
9 nne 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 0z 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11 1z 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 0lt1 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13 fzolb 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1410, 11, 12, 13mpbir3an 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1614, 15syl5eleqr 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1716anim2i 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1817ex 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1918adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2019impcom 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22 oveq1 6068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2322fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2421, 23neeq12d 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524rspccva 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2620, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 0p1e1 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2928eqcoms 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3027, 29syl5eq 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3130fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231neeq2d 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 df-ne 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3432, 33syl6bb 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3526, 34syl5ibcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ex 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . 16
389, 37sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14
4039con4d 100 . . . . . . . . . . . . 13
4140ex 427 . . . . . . . . . . . 12
4241com23 75 . . . . . . . . . . 11
438, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
4443ex 427 . . . . . . . . 9
4544com14 85 . . . . . . . 8
46453ad2ant1 994 . . . . . . 7
477, 46syl5 31 . . . . . 6
4847imp3a 424 . . . . 5
494, 48sylbid 209 . . . 4
502, 49syl 16 . . 3
511, 50mpcom 35 . 2
5251impcom 423 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694   cvv 2951   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   clt 9364   cn0 10525   cz 10591   cfzo 11489   chash 12044   cusg 22943   cwalk 23084   ctrail 23085   cpath 23086   ccycl 23093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-hash 12045  df-word 12170  df-usgra 22945  df-wlk 23094  df-trail 23095  df-pth 23096  df-cycl 23099
  Copyright terms: Public domain W3C validator