MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzaddcl Unicode version

Theorem uzaddcl 11166
Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
uzaddcl

Proof of Theorem uzaddcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11121 . . . . . . . 8
2 nn0cn 10830 . . . . . . . 8
3 ax-1cn 9571 . . . . . . . . 9
4 addass 9600 . . . . . . . . 9
53, 4mp3an3 1313 . . . . . . . 8
61, 2, 5syl2anr 478 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
8 peano2uz 11163 . . . . . . 7
98adantl 466 . . . . . 6
107, 9eqeltrrd 2546 . . . . 5
1110exp31 604 . . . 4
1211a2d 26 . . 3
131addid1d 9801 . . . . 5
1413eleq1d 2526 . . . 4
1514ibir 242 . . 3
16 oveq2 6304 . . . . 5
1716eleq1d 2526 . . . 4
1817imbi2d 316 . . 3
19 oveq2 6304 . . . . 5
2019eleq1d 2526 . . . 4
2120imbi2d 316 . . 3
22 oveq2 6304 . . . . 5
2322eleq1d 2526 . . . 4
2423imbi2d 316 . . 3
25 oveq2 6304 . . . . 5
2625eleq1d 2526 . . . 4
2726imbi2d 316 . . 3
2812, 15, 18, 21, 24, 27nn0indALT 10985 . 2
2928impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn0 10820   cuz 11110
This theorem is referenced by:  elfz0add  11804  zpnn0elfzo  11888  ccatass  12605  ccatrn  12606  swrdccat1  12682  swrdccat2  12683  splfv1  12731  splval2  12733  revccat  12740  isercoll2  13491  iseraltlem2  13505  iseraltlem3  13506  mertenslem1  13693  eftlub  13844  vdwlem6  14504  gsumccat  16009  efginvrel2  16745  efgredleme  16761  efgcpbllemb  16773  geolim3  22735  jm2.27c  30949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator