Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind2 Unicode version

Theorem uzind2 10980
 Description: Induction on the upper integers that start after an integer . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind2.1
uzind2.2
uzind2.3
uzind2.4
uzind2.5
uzind2.6
Assertion
Ref Expression
uzind2
Distinct variable groups:   ,N   ,   ,   ,   ,   ,   ,,M

Proof of Theorem uzind2
StepHypRef Expression
1 zltp1le 10938 . . 3
2 peano2z 10930 . . . . . . 7
3 uzind2.1 . . . . . . . . . 10
43imbi2d 316 . . . . . . . . 9
5 uzind2.2 . . . . . . . . . 10
65imbi2d 316 . . . . . . . . 9
7 uzind2.3 . . . . . . . . . 10
87imbi2d 316 . . . . . . . . 9
9 uzind2.4 . . . . . . . . . 10
109imbi2d 316 . . . . . . . . 9
11 uzind2.5 . . . . . . . . . 10
1211a1i 11 . . . . . . . . 9
13 zltp1le 10938 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 uzind2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15143expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15
1613, 15sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14
1716ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
1817com3l 81 . . . . . . . . . . . 12
1918imp 429 . . . . . . . . . . 11
20193adant1 1014 . . . . . . . . . 10
2120a2d 26 . . . . . . . . 9
224, 6, 8, 10, 12, 21uzind 10979 . . . . . . . 8
23223exp 1195 . . . . . . 7
242, 23syl 16 . . . . . 6
2524com34 83 . . . . 5
2625pm2.43a 49 . . . 4
2726imp 429 . . 3
281, 27sylbid 215 . 2
29283impia 1193 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cz 10889 This theorem is referenced by:  monotuz  30877 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
 Copyright terms: Public domain W3C validator