Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4 Unicode version

Theorem uzind4 11168
 Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer . The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1
uzind4.2
uzind4.3
uzind4.4
uzind4.5
uzind4.6
Assertion
Ref Expression
uzind4
Distinct variable groups:   ,N   ,   ,   ,   ,   ,   ,,M

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11115 . 2
2 eluzelz 11119 . . 3
3 eluzle 11122 . . 3
4 breq2 4456 . . . 4
54elrab 3257 . . 3
62, 3, 5sylanbrc 664 . 2
7 uzind4.1 . . 3
8 uzind4.2 . . 3
9 uzind4.3 . . 3
10 uzind4.4 . . 3
11 uzind4.5 . . 3
12 breq2 4456 . . . . . 6
1312elrab 3257 . . . . 5
14 eluz2 11116 . . . . . . 7
1514biimpri 206 . . . . . 6
16153expb 1197 . . . . 5
1713, 16sylan2b 475 . . . 4
18 uzind4.6 . . . 4
1917, 18syl 16 . . 3
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 10981 . 2
211, 6, 20syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296  1`c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cz 10889   cuz 11110 This theorem is referenced by:  uzind4ALT  11169  uzind4s  11170  uzind4s2  11171  uzind4i  11172  uzwo  11173  uzwoOLD  11174  seqcl2  12125  seqfveq2  12129  seqshft2  12133  monoord  12137  seqsplit  12140  seqf1o  12148  seqid2  12153  seqhomo  12154  leexp2r  12223  cvgrat  13692  clim2prod  13697  ntrivcvgfvn0  13708  fprodabs  13778  fprodefsum  13830  ruclem9  13971  dvdsfac  14041  smuval2  14132  smupvallem  14133  seq1st  14200  prmreclem4  14437  vdwlem13  14511  2expltfac  14577  telgsumfzs  17018  1stcelcls  19962  caubl  21746  caublcls  21747  volsuplem  21965  cpnord  22338  aaliou3lem2  22739  bcmono  23552  sseqp1  28334  iprodefisumlem  29123  sdclem2  30235  seqpo  30240  mettrifi  30250  incssnn0  30643  dvgrat  31193  climsuselem1  31613 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
 Copyright terms: Public domain W3C validator