Theorem uzinfmi 11190

Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. Note that the " " argument turns supremum into infimum (for which we do not currently have a separate notation). (Contributed by NM, 7-Oct-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfm.1

Assertion

Ref	Expression
uzinfmi

Proof of Theorem uzinfmi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 11129	. . . 4
2		zssre 10896	. . . 4
3	1, 2	sstri 3512	. . 3
4		uzinfm.1	. . . . 5
5		uzid 11124	. . . . 5
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4
7		eluzle 11122	. . . . 5
8	7	rgen 2817	. . . 4
9		breq1 4455	. . . . . 6
10	9	ralbidv 2896	. . . . 5
11	10	rspcev 3210	. . . 4
12	6, 8, 11	mp2an 672	. . 3
13		lbinfm 10521	. . 3
14	3, 12, 13	mp2an 672	. 2
15		lbreu 10518	. . . . 5
16	3, 12, 15	mp2an 672	. . . 4
17	10	riota2 6280	. . . 4
18	6, 16, 17	mp2an 672	. . 3
19	8, 18	mpbi 208	. 2
20	14, 19	eqtri 2486	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  iota_crio 6256  supcsup 7920  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cz 10889  cuz 11110

This theorem is referenced by:  nninfm  11191  nn0infm  11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-neg 9831  df-z 10890  df-uz 11111