MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgfni Unicode version

Theorem uzrdgfni 12069
Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. See comment in om2uzrdg 12067. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
uzrdg.3
Assertion
Ref Expression
uzrdgfni
Distinct variable groups:   ,   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem uzrdgfni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzrdg.3 . . . . . . . . 9
21eleq2i 2535 . . . . . . . 8
3 frfnom 7119 . . . . . . . . . 10
4 uzrdg.2 . . . . . . . . . . 11
54fneq1i 5680 . . . . . . . . . 10
63, 5mpbir 209 . . . . . . . . 9
7 fvelrnb 5920 . . . . . . . . 9
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8
92, 8bitri 249 . . . . . . 7
10 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11
11 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11
12 uzrdg.1 . . . . . . . . . . 11
1310, 11, 12, 4om2uzrdg 12067 . . . . . . . . . 10
1410, 11om2uzuzi 12060 . . . . . . . . . . 11
15 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
16 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16sylancl 662 . . . . . . . . . 10
1813, 17eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
19 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
2018, 19syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
2120rexlimiv 2943 . . . . . . 7
229, 21sylbi 195 . . . . . 6
2322ssriv 3507 . . . . 5
24 xpss 5114 . . . . 5
2523, 24sstri 3512 . . . 4
26 df-rel 5011 . . . 4
2725, 26mpbir 209 . . 3
28 fvex 5881 . . . . . 6
29 eqeq2 2472 . . . . . . . 8
3029imbi2d 316 . . . . . . 7
3130albidv 1713 . . . . . 6
3228, 31spcev 3201 . . . . 5
331eleq2i 2535 . . . . . . 7
34 fvelrnb 5920 . . . . . . . 8
356, 34ax-mp 5 . . . . . . 7
3633, 35bitri 249 . . . . . 6
3713eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
38 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
3938, 15opth1 4725 . . . . . . . . . . . 12
4037, 39syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11
4110, 11om2uzf1oi 12064 . . . . . . . . . . . 12
42 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42mpan 670 . . . . . . . . . . 11
4440, 43syld 44 . . . . . . . . . 10
45 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
4645fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
4744, 46syl6 33 . . . . . . . . 9
4847imp 429 . . . . . . . 8
49 vex 3112 . . . . . . . . . 10
50 vex 3112 . . . . . . . . . 10
5149, 50op2ndd 6811 . . . . . . . . 9
5251adantl 466 . . . . . . . 8
5348, 52eqtr2d 2499 . . . . . . 7
5453rexlimiva 2945 . . . . . 6
5536, 54sylbi 195 . . . . 5
5632, 55mpg 1620 . . . 4
5756ax-gen 1618 . . 3
58 dffun5 5606 . . 3
5927, 57, 58mpbir2an 920 . 2
60 dmss 5207 . . . . 5
6123, 60ax-mp 5 . . . 4
62 dmxpss 5443 . . . 4
6361, 62sstri 3512 . . 3
6410, 11, 12, 4uzrdglem 12068 . . . . . 6
6564, 1syl6eleqr 2556 . . . . 5
6649, 28opeldm 5211 . . . . 5
6765, 66syl 16 . . . 4
6867ssriv 3507 . . 3
6963, 68eqssi 3519 . 2
70 df-fn 5596 . 2
7159, 69, 70mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c2nd 6799  reccrdg 7094  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  uzrdg0i  12070  uzrdgsuci  12071  seqfn  12119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator