MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgsuci Unicode version

Theorem uzrdgsuci 12071
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in om2uzrdg 12067. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
uzrdg.3
Assertion
Ref Expression
uzrdgsuci
Distinct variable groups:   ,   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem uzrdgsuci
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . . . . 6
2 om2uz.2 . . . . . 6
3 uzrdg.1 . . . . . 6
4 uzrdg.2 . . . . . 6
5 uzrdg.3 . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5uzrdgfni 12069 . . . . 5
7 fnfun 5683 . . . . 5
86, 7ax-mp 5 . . . 4
9 peano2uz 11163 . . . . . 6
101, 2, 3, 4uzrdglem 12068 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
1211, 5syl6eleqr 2556 . . . 4
13 funopfv 5912 . . . 4
148, 12, 13mpsyl 63 . . 3
151, 2om2uzf1oi 12064 . . . . . . . 8
16 f1ocnvdm 6188 . . . . . . . 8
1715, 16mpan 670 . . . . . . 7
18 peano2 6720 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
201, 2om2uzsuci 12059 . . . . . . . 8
2117, 20syl 16 . . . . . . 7
22 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . 9
2315, 22mpan 670 . . . . . . . 8
2423oveq1d 6311 . . . . . . 7
2521, 24eqtrd 2498 . . . . . 6
26 f1ocnvfv 6184 . . . . . . 7
2715, 26mpan 670 . . . . . 6
2819, 25, 27sylc 60 . . . . 5
2928fveq2d 5875 . . . 4
3029fveq2d 5875 . . 3
3114, 30eqtrd 2498 . 2
32 frsuc 7121 . . . . . . . 8
334fveq1i 5872 . . . . . . . 8
344fveq1i 5872 . . . . . . . . 9
3534fveq2i 5874 . . . . . . . 8
3632, 33, 353eqtr4g 2523 . . . . . . 7
371, 2, 3, 4om2uzrdg 12067 . . . . . . . . 9
3837fveq2d 5875 . . . . . . . 8
39 df-ov 6299 . . . . . . . 8
4038, 39syl6eqr 2516 . . . . . . 7
4136, 40eqtrd 2498 . . . . . 6
42 fvex 5881 . . . . . . 7
43 fvex 5881 . . . . . . 7
44 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
45 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4644, 45opeq12d 4225 . . . . . . . 8
47 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
4847opeq2d 4224 . . . . . . . 8
49 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
50 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
5149, 50opeq12d 4225 . . . . . . . . 9
52 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
5352opeq2d 4224 . . . . . . . . 9
5451, 53cbvmpt2v 6377 . . . . . . . 8
55 opex 4716 . . . . . . . 8
5646, 48, 54, 55ovmpt2 6438 . . . . . . 7
5742, 43, 56mp2an 672 . . . . . 6
5841, 57syl6eq 2514 . . . . 5
5958fveq2d 5875 . . . 4
60 ovex 6324 . . . . 5
61 ovex 6324 . . . . 5
6260, 61op2nd 6809 . . . 4
6359, 62syl6eq 2514 . . 3
6417, 63syl 16 . 2
651, 2, 3, 4uzrdglem 12068 . . . . . 6
6665, 5syl6eleqr 2556 . . . . 5
67 funopfv 5912 . . . . 5
688, 66, 67mpsyl 63 . . . 4
6968eqcomd 2465 . . 3
7023, 69oveq12d 6314 . 2
7131, 64, 703eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  <.cop 4035  e.cmpt 4510  succsuc 4885  `'ccnv 5003  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c2nd 6799  reccrdg 7094  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  seqp1  12122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator