Theorem uzsubsubfz 11736

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11116	. . 3
2		eluz2 11116	. . . 4
3		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
4		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
6		zsubcl 10931	. . . . . . . . . . . . . . 15
7	6	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14
8	5, 7	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . . . 13
9	3, 5, 8	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12
10	9	ex 434	. . . . . . . . . . 11
11	10	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10
12	11	com12 31	. . . . . . . . 9
13	12	adantr 465	. . . . . . . 8
14	13	imp 429	. . . . . . 7
15		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	15	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	17, 20	subge0d 10167	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	exbiri 622	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . 12
24	23	3impia 1193	. . . . . . . . . . 11
25	24	impcom 430	. . . . . . . . . 10
26		zre 10893	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
29		resubcl 9906	. . . . . . . . . . . . . 14
30	15, 18, 29	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12
32	31	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
33	28, 32	addge02d 10166	. . . . . . . . . 10
34	25, 33	mpbid 210	. . . . . . . . 9
35		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
36	35	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . 10
38		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
39	38	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . 10
41		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . 10
44	37, 40, 43	subsubd 9982	. . . . . . . . 9
45	34, 44	breqtrrd 4478	. . . . . . . 8
46	18	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13
47		subge0 10090	. . . . . . . . . . . . 13
48	46, 26, 47	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12
49	48	exbiri 622	. . . . . . . . . . 11
50	49	com23 78	. . . . . . . . . 10
51	50	imp31 432	. . . . . . . . 9
52	15	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . 10
54		resubcl 9906	. . . . . . . . . . 11
55	46, 27, 54	syl2anr 478	. . . . . . . . . 10
56	53, 55	subge02d 10169	. . . . . . . . 9
57	51, 56	mpbid 210	. . . . . . . 8
58	45, 57	jca 532	. . . . . . 7
59		elfz2 11708	. . . . . . 7
60	14, 58, 59	sylanbrc 664	. . . . . 6
61	60	ex 434	. . . . 5
62	61	3adant2 1015	. . . 4
63	2, 62	syl5bi 217	. . 3
64	1, 63	sylbi 195	. 2
65	64	imp 429	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  caddc 9516  cle 9650  cmin 9828  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  11737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702