Theorem uzsupss 11203

Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsupss.1

Assertion

Ref	Expression
uzsupss

Distinct variable groups:   ,,,   ,M,   ,

Proof of Theorem uzsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 999	. . . . 5
2		uzid 11124	. . . . 5
3	1, 2	syl 16	. . . 4
4		uzsupss.1	. . . 4
5	3, 4	syl6eleqr 2556	. . 3
6		ral0 3934	. . . 4
7		simpr 461	. . . . 5
8	7	raleqdv 3060	. . . 4
9	6, 8	mpbiri 233	. . 3
10		eluzle 11122	. . . . . . . 8
11		eluzel2 11115	. . . . . . . . 9
12		eluzelz 11119	. . . . . . . . 9
13		zre 10893	. . . . . . . . . 10
14		zre 10893	. . . . . . . . . 10
15		lenlt 9684	. . . . . . . . . 10
16	13, 14, 15	syl2an 477	. . . . . . . . 9
17	11, 12, 16	syl2anc 661	. . . . . . . 8
18	10, 17	mpbid 210	. . . . . . 7
19	18, 4	eleq2s 2565	. . . . . 6
20	19	pm2.21d 106	. . . . 5
21	20	rgen 2817	. . . 4
22	21	a1i 11	. . 3
23		breq1 4455	. . . . . . 7
24	23	notbid 294	. . . . . 6
25	24	ralbidv 2896	. . . . 5
26		breq2 4456	. . . . . . 7
27	26	imbi1d 317	. . . . . 6
28	27	ralbidv 2896	. . . . 5
29	25, 28	anbi12d 710	. . . 4
30	29	rspcev 3210	. . 3
31	5, 9, 22, 30	syl12anc 1226	. 2
32		simpl2 1000	. . 3
33		uzssz 11129	. . . . . 6
34	4, 33	eqsstri 3533	. . . . 5
35	32, 34	syl6ss 3515	. . . 4
36		simpr 461	. . . 4
37		simpl3 1001	. . . 4
38		zsupss 11200	. . . 4
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1228	. . 3
40		ssrexv 3564	. . 3
41	32, 39, 40	sylc 60	. 2
42	31, 41	pm2.61dane 2775	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  cr 9512  clt 9649  cle 9650  cz 10889  cuz 11110

This theorem is referenced by:  dgrcl  22630  dgrub  22631  dgrlb  22633  oddpwdc  28293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111