MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo3 Unicode version

Theorem uzwo3 11206
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 11175 allows the lower bound to be any real number. See also nnwo 11176 and nnwos 11178. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9905 . . . 4
21adantr 465 . . 3
3 arch 10817 . . 3
42, 3syl 16 . 2
5 simplrl 761 . . . . 5
6 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13
7 nnnegz 10892 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12
98zred 10994 . . . . . . . . . . 11
10 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
1110zred 10994 . . . . . . . . . . 11
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
136nnred 10576 . . . . . . . . . . . . 13
14 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14ltnegcon1d 10157 . . . . . . . . . . . 12
16 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 9763 . . . . . . . . . . 11
189, 11, 17ltled 9754 . . . . . . . . . 10
19 eluz 11123 . . . . . . . . . . 11
208, 10, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2118, 20mpbird 232 . . . . . . . . 9
2221expr 615 . . . . . . . 8
2322ralrimiva 2871 . . . . . . 7
24 rabss 3576 . . . . . . 7
2523, 24sylibr 212 . . . . . 6
2625adantlr 714 . . . . 5
275, 26sstrd 3513 . . . 4
28 simplrr 762 . . . 4
29 infmssuzcl 11194 . . . 4
3027, 28, 29syl2anc 661 . . 3
31 infmssuzle 11193 . . . . 5
3227, 31sylan 471 . . . 4
3332ralrimiva 2871 . . 3
3430adantr 465 . . . . . . 7
35 simprr 757 . . . . . . 7
36 breq2 4456 . . . . . . . 8
3736rspcv 3206 . . . . . . 7
3834, 35, 37sylc 60 . . . . . 6
3927adantr 465 . . . . . . 7
40 simprl 756 . . . . . . 7
41 infmssuzle 11193 . . . . . . 7
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6
43 uzssz 11129 . . . . . . . . . . 11
44 zssre 10896 . . . . . . . . . . 11
4543, 44sstri 3512 . . . . . . . . . 10
4627, 45syl6ss 3515 . . . . . . . . 9
4746adantr 465 . . . . . . . 8
4847, 40sseldd 3504 . . . . . . 7
4946, 30sseldd 3504 . . . . . . . 8
5049adantr 465 . . . . . . 7
5148, 50letri3d 9748 . . . . . 6
5238, 42, 51mpbir2and 922 . . . . 5
5352expr 615 . . . 4
5453ralrimiva 2871 . . 3
55 breq1 4455 . . . . 5
5655ralbidv 2896 . . . 4
5756eqreu 3291 . . 3
5830, 33, 54, 57syl3anc 1228 . 2
594, 58rexlimddv 2953 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  supcsup 7920   cr 9512   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   cn 10561   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  zmin  11207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator