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Theorem uzwoOLD 11174
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of the upper integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
uzwoOLD
Distinct variable group:   , ,S

Proof of Theorem uzwoOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
21ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
32imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
4 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
54ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
65imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
7 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
87ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
98imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
10 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
1110ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
1211imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
13 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . 14
14 eluzle 11122 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
1615ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . 12
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10
19 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . 13
20 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
22 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . 13
23 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2524rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726con3rr3 136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
30 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
31 letri3 9691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3229, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
33 zleltp1 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
34 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
36 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3730, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3833, 37bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3938ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4039anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4132, 40bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4228, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
43 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4542, 44sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4645expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47 con1 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4846, 47syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4948com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5049exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5150com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5527, 54sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . 14
5756expl 618 . . . . . . . . . . . . 13
5822, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5921, 58sylani 654 . . . . . . . . . . 11
6059a2d 26 . . . . . . . . . 10
613, 6, 9, 12, 18, 60uzind4 11168 . . . . . . . . 9
62 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
6362ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13
6463rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12
6564expcom 435 . . . . . . . . . . 11
6665con3rr3 136 . . . . . . . . . 10
6766adantl 466 . . . . . . . . 9
6861, 67sylcom 29 . . . . . . . 8
69 ssel 3497 . . . . . . . . . 10
7069con3rr3 136 . . . . . . . . 9
7170adantrd 468 . . . . . . . 8
7268, 71pm2.61i 164 . . . . . . 7
7372ex 434 . . . . . 6
7473alrimdv 1721 . . . . 5
75 eq0 3800 . . . . 5
7674, 75syl6ibr 227 . . . 4
7776con1d 124 . . 3
7877imp 429 . 2
79 breq2 4456 . . . 4
8079cbvralv 3084 . . 3
8180rexbii 2959 . 2
8278, 81sylib 196 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cz 10889   cuz 11110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
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