Theorem vdwapun 14492

Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapun

Proof of Theorem vdwapun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 10861	. . . . 5
2		vdwapval 14491	. . . . 5
3	1, 2	syl3an1 1261	. . . 4
4		simp1 996	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . 12
6		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . 12
7		pncan 9849	. . . . . . . . . . . 12
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
9	8	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
10	9	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
11		nn0uz 11144	. . . . . . . . . . 11
12	4, 11	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . 10
13		elfzp12 11786	. . . . . . . . . 10
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9
15	10, 14	bitrd 253	. . . . . . . 8
16	15	anbi1d 704	. . . . . . 7
17		andir 868	. . . . . . 7
18	16, 17	syl6bb 261	. . . . . 6
19	18	exbidv 1714	. . . . 5
20		df-rex 2813	. . . . 5
21		19.43 1693	. . . . . 6
22	21	bicomi 202	. . . . 5
23	19, 20, 22	3bitr4g 288	. . . 4
24	3, 23	bitrd 253	. . 3
25		nncn 10569	. . . . . . . . . . 11
26	25	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10
27	26	mul02d 9799	. . . . . . . . 9
28	27	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
29		nncn 10569	. . . . . . . . . 10
30	29	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9
31	30	addid1d 9801	. . . . . . . 8
32	28, 31	eqtrd 2498	. . . . . . 7
33	32	eqeq2d 2471	. . . . . 6
34		c0ex 9611	. . . . . . 7
35		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
36	35	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
37	36	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
38	34, 37	ceqsexv 3146	. . . . . 6
39		elsn 4043	. . . . . 6
40	33, 38, 39	3bitr4g 288	. . . . 5
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
42		0p1e1 10672	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	42	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . . . 14
44	41, 43	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . 13
45		1zzd 10920	. . . . . . . . . . . . . 14
46	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	46	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . . 14
48		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
50		fzsubel 11748	. . . . . . . . . . . . . 14
51	45, 47, 49, 45, 50	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13
52	44, 51	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12
53		1m1e0 10629	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . 12
55	52, 54	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11
56	49	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		1cnd 9633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	56, 57, 58	subdird 10038	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	58	mulid2d 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	59, 61	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15
63	62	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14
64	56, 58	mulcld 9637	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	58, 64	pncan3d 9957	. . . . . . . . . . . . . 14
66	63, 65	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
68	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
69		subcl 9842	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	56, 6, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14
71	70, 58	mulcld 9637	. . . . . . . . . . . . 13
72	68, 58, 71	addassd 9639	. . . . . . . . . . . 12
73	67, 72	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
74		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14
75	74	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
77	76	rspcev 3210	. . . . . . . . . . 11
78	55, 73, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
79		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11
80	79	rexbidv 2968	. . . . . . . . . 10
81	78, 80	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9
82	81	expimpd 603	. . . . . . . 8
83	82	exlimdv 1724	. . . . . . 7
84		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
85		0zd 10901	. . . . . . . . . . . . 13
86	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . . 14
88		peano2zm 10932	. . . . . . . . . . . . . 14
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
90		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . . . . 14
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
92		1zzd 10920	. . . . . . . . . . . . 13
93		fzaddel 11747	. . . . . . . . . . . . 13
94	85, 89, 91, 92, 93	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12
95	84, 94	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
96	86	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . . 13
97		npcan 9852	. . . . . . . . . . . . 13
98	96, 6, 97	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12
99	98	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
100	95, 99	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . 10
101	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
102	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
103	91	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . 13
104	103, 102	mulcld 9637	. . . . . . . . . . . 12
105	101, 102, 104	addassd 9639	. . . . . . . . . . 11
106		1cnd 9633	. . . . . . . . . . . . . 14
107	103, 106, 102	adddird 9642	. . . . . . . . . . . . 13
108	102, 104	addcomd 9803	. . . . . . . . . . . . . 14
109	102	mulid2d 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14
111	108, 110	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . 13
112	107, 111	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12
113	112	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
114	105, 113	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10
115		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
116		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
117		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14
118	117	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13
119	118	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
120	116, 119	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
121	115, 120	spcev 3201	. . . . . . . . . 10
122	100, 114, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
123		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11
124	123	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10
125	124	exbidv 1714	. . . . . . . . 9
126	122, 125	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8
127	126	rexlimdva 2949	. . . . . . 7
128	83, 127	impbid 191	. . . . . 6
129		nnaddcl 10583	. . . . . . . 8
130	129	3adant1 1014	. . . . . . 7
131		vdwapval 14491	. . . . . . 7
132	130, 131	syld3an2 1275	. . . . . 6
133	128, 132	bitr4d 256	. . . . 5
134	40, 133	orbi12d 709	. . . 4
135		elun 3644	. . . 4
136	134, 135	syl6bbr 263	. . 3
137	24, 136	bitrd 253	. 2
138	137	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  u.cun 3473  {csn 4029  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cvdwa 14483

This theorem is referenced by:  vdwapid1  14493  vdwap1  14495  vdwlem1  14499  vdwlem5  14503  vdwlem8  14506  vdwlem12  14510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-vdwap 14486