MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem1 Unicode version

Theorem vdwlem1 14499
Description: Lemma for vdw 14512. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem1.r
vdwlem1.k
vdwlem1.w
vdwlem1.f
vdwlem1.a
vdwlem1.m
vdwlem1.d
vdwlem1.s
vdwlem1.i
vdwlem1.e
Assertion
Ref Expression
vdwlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,I   ,   ,   ,M   ,   ,   ,

Proof of Theorem vdwlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem1.a . . . 4
2 vdwlem1.d . . . . 5
3 vdwlem1.i . . . . 5
42, 3ffvelrnd 6032 . . . 4
5 vdwlem1.k . . . . . . 7
65nnnn0d 10877 . . . . . 6
7 vdwapun 14492 . . . . . 6
86, 1, 4, 7syl3anc 1228 . . . . 5
91nnred 10576 . . . . . . . . . 10
10 vdwlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15
11 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eluzfz1 11722 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
152, 14ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12
161, 15nnaddcld 10607 . . . . . . . . . . 11
1716nnred 10576 . . . . . . . . . 10
18 vdwlem1.w . . . . . . . . . . 11
1918nnred 10576 . . . . . . . . . 10
2015nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . 12
219, 20ltaddrpd 11314 . . . . . . . . . . 11
229, 17, 21ltled 9754 . . . . . . . . . 10
23 vdwlem1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 vdwlem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2925, 28syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3124, 30sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . 14
32 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
335, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3533, 34syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 eluzfz1 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
392ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140mul02d 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
431adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4443, 39nnaddcld 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4544nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645addid1d 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4742, 46eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5238, 47, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
535adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 vdwapval 14491 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 44, 39, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
5752, 56mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
5831, 57sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . 13
5958ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
60 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
6261eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
6362rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
6414, 59, 63sylc 60 . . . . . . . . . . 11
65 elfzle2 11719 . . . . . . . . . . 11
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10
679, 17, 19, 22, 66letrd 9760 . . . . . . . . 9
681, 11syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10
6918nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
70 elfz5 11709 . . . . . . . . . 10
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . 8
73 eqidd 2458 . . . . . . . 8
74 ffn 5736 . . . . . . . . 9
75 fniniseg 6008 . . . . . . . . 9
7626, 74, 753syl 20 . . . . . . . 8
7772, 73, 76mpbir2and 922 . . . . . . 7
7877snssd 4175 . . . . . 6
79 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
8180, 79oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
8280fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
8382sneqd 4041 . . . . . . . . . . 11
8483imaeq2d 5342 . . . . . . . . . 10
8581, 84sseq12d 3532 . . . . . . . . 9
8685rspcv 3206 . . . . . . . 8
873, 23, 86sylc 60 . . . . . . 7
88 vdwlem1.e . . . . . . . . 9
8988sneqd 4041 . . . . . . . 8
9089imaeq2d 5342 . . . . . . 7
9187, 90sseqtr4d 3540 . . . . . 6
9278, 91unssd 3679 . . . . 5
938, 92eqsstrd 3537 . . . 4
94 oveq1 6303 . . . . . 6
9594sseq1d 3530 . . . . 5
96 oveq2 6304 . . . . . 6
9796sseq1d 3530 . . . . 5
9895, 97rspc2ev 3221 . . . 4
991, 4, 93, 98syl3anc 1228 . . 3
100 fvex 5881 . . . 4
101 sneq 4039 . . . . . . 7
102101imaeq2d 5342 . . . . . 6
103102sseq2d 3531 . . . . 5
1041032rexbidv 2975 . . . 4
105100, 104spcev 3201 . . 3
10699, 105syl 16 . 2
107 ovex 6324 . . 3
108 peano2nn0 10861 . . . 4
1096, 108syl 16 . . 3
110107, 109, 26vdwmc 14496 . 2
111106, 110mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cvdwa 14483   cvdwm 14484
This theorem is referenced by:  vdwlem6  14504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-vdwap 14486  df-vdwmc 14487
  Copyright terms: Public domain W3C validator