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Theorem vdwlem2 14500
Description: Lemma for vdw 14512. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r
vdwlem2.k
vdwlem2.w
vdwlem2.n
vdwlem2.f
vdwlem2.m
vdwlem2.g
Assertion
Ref Expression
vdwlem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,   ,   ,N   ,   ,

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6
2 vdwlem2.n . . . . . 6
3 nnaddcl 10583 . . . . . 6
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . 5
5 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
65nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
72ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
87nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
9 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15
1411, 13mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . 14
156, 8, 14add32d 9825 . . . . . . . . . . . . 13
16 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1918oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2019eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2120rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2217, 21mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 vdwapval 14491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2826, 5, 12, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2923, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3016, 29sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 elfznn 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
32 nnaddcl 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3331, 2, 32syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
34 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3533, 34syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
392nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40 eluzadd 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4138, 39, 40syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42 uztrn 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4337, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44 elfzuzb 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4535, 43, 44sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4746ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4845, 47syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5048, 49fmptd 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 fniniseg 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5630, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14
5845ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
60 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
6357, 59, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
6415, 63eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
6515fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
6660fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
6866, 49, 67fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14
6957, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7056simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
7165, 69, 703eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . 12
7264, 71jca 532 . . . . . . . . . . 11
73 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
74 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
7574eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
7673, 75anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
7772, 76syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10
7877rexlimdva 2949 . . . . . . . . 9
794adantr 465 . . . . . . . . . 10
80 simprl 756 . . . . . . . . . 10
81 vdwapval 14491 . . . . . . . . . 10
8225, 79, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
83 ffn 5736 . . . . . . . . . . . 12
8446, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
86 fniniseg 6008 . . . . . . . . . 10
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9
8878, 82, 873imtr4d 268 . . . . . . . 8
8988ssrdv 3509 . . . . . . 7
9089expr 615 . . . . . 6
9190reximdva 2932 . . . . 5
92 oveq1 6303 . . . . . . . 8
9392sseq1d 3530 . . . . . . 7
9493rexbidv 2968 . . . . . 6
9594rspcev 3210 . . . . 5
964, 91, 95syl6an 545 . . . 4
9796rexlimdva 2949 . . 3
9897eximdv 1710 . 2
99 ovex 6324 . . 3
10099, 24, 50vdwmc 14496 . 2
101 ovex 6324 . . 3
102101, 24, 46vdwmc 14496 . 2
10398, 100, 1023imtr4d 268 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cvdwa 14483   cvdwm 14484
This theorem is referenced by:  vdwlem9  14507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-vdwap 14486  df-vdwmc 14487
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