MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwmc2 Unicode version

Theorem vdwmc2 14497
Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwmc.1
vdwmc.2
vdwmc.3
vdwmc2.4
Assertion
Ref Expression
vdwmc2
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   ,   , , ,   , ,

Proof of Theorem vdwmc2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwmc.1 . . 3
2 vdwmc.2 . . 3
3 vdwmc.3 . . 3
41, 2, 3vdwmc 14496 . 2
5 vdwapid1 14493 . . . . . . . . . . . 12
6 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11
873expb 1197 . . . . . . . . . 10
98adantll 713 . . . . . . . . 9
10 ssn0 3818 . . . . . . . . . 10
1110expcom 435 . . . . . . . . 9
129, 11syl 16 . . . . . . . 8
13 disjsn 4090 . . . . . . . . . 10
143adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
15 fimacnvdisj 5768 . . . . . . . . . . . . 13
1615ex 434 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11
1817adantr 465 . . . . . . . . . 10
1913, 18syl5bir 218 . . . . . . . . 9
2019necon1ad 2673 . . . . . . . 8
2112, 20syld 44 . . . . . . 7
2221rexlimdvva 2956 . . . . . 6
2322pm4.71rd 635 . . . . 5
2423exbidv 1714 . . . 4
25 df-rex 2813 . . . 4
2624, 25syl6bbr 263 . . 3
27 vdwmc2.4 . . . . . . . . 9
283, 27ffvelrnd 6032 . . . . . . . 8
29 ne0i 3790 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
3130adantr 465 . . . . . 6
32 1nn 10572 . . . . . . . . 9
3332ne0ii 3791 . . . . . . . 8
34 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
3635oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . 13
37 vdwap0 14494 . . . . . . . . . . . . . 14
3837adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13
3936, 38eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
40 0ss 3814 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl6eqss 3553 . . . . . . . . . . 11
4241ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
43 r19.2z 3918 . . . . . . . . . 10
4433, 42, 43sylancr 663 . . . . . . . . 9
4544ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
46 r19.2z 3918 . . . . . . . 8
4733, 45, 46sylancr 663 . . . . . . 7
4847ralrimivw 2872 . . . . . 6
49 r19.2z 3918 . . . . . 6
5031, 48, 49syl2anc 661 . . . . 5
51 rexex 2914 . . . . 5
5250, 51syl 16 . . . 4
5352, 502thd 240 . . 3
54 elnn0 10822 . . . 4
552, 54sylib 196 . . 3
5626, 53, 55mpjaodan 786 . 2
57 vdwapval 14491 . . . . . . . . 9
58573expb 1197 . . . . . . . 8
592, 58sylan 471 . . . . . . 7
6059imbi1d 317 . . . . . 6
6160albidv 1713 . . . . 5
62 dfss2 3492 . . . . 5
63 ralcom4 3128 . . . . . 6
64 ovex 6324 . . . . . . . 8
65 eleq1 2529 . . . . . . . 8
6664, 65ceqsalv 3137 . . . . . . 7
6766ralbii 2888 . . . . . 6
68 r19.23v 2937 . . . . . . 7
6968albii 1640 . . . . . 6
7063, 67, 693bitr3i 275 . . . . 5
7161, 62, 703bitr4g 288 . . . 4
72712rexbidva 2974 . . 3
7372rexbidv 2968 . 2
744, 56, 733bitrd 279 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  "cima 5007  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cfz 11701   cvdwa 14483   cvdwm 14484
This theorem is referenced by:  vdw  14512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-vdwap 14486  df-vdwmc 14487
  Copyright terms: Public domain W3C validator