MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmalogdivsum2 Unicode version

Theorem vmalogdivsum2 22528
Description: The sum sum_ , ( ) ( ) is asymptotic to 2( ) 2 O( ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem vmalogdivsum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11736 . . . . . . . . 9
2 elfznn 11422 . . . . . . . . . . . . 13
32adantl 456 . . . . . . . . . . . 12
43nnrpd 10971 . . . . . . . . . . 11
54relogcld 21813 . . . . . . . . . 10
65, 3nndivred 10316 . . . . . . . . 9
71, 6fsumrecl 13152 . . . . . . . 8
87recnd 9358 . . . . . . 7
9 elioore 11275 . . . . . . . . . . . . 13
109adantl 456 . . . . . . . . . . . 12
11 1rp 10940 . . . . . . . . . . . . 13
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
13 1red 9347 . . . . . . . . . . . . 13
14 eliooord 11300 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantl 456 . . . . . . . . . . . . . 14
1615simpld 449 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 10, 16ltled 9468 . . . . . . . . . . . 12
1810, 12, 17rpgecld 11007 . . . . . . . . . . 11
1918relogcld 21813 . . . . . . . . . 10
2019resqcld 11975 . . . . . . . . 9
2120rehalfcld 10517 . . . . . . . 8
2221recnd 9358 . . . . . . 7
2319recnd 9358 . . . . . . 7
2410, 16rplogcld 21819 . . . . . . . 8
2524rpne0d 10977 . . . . . . 7
268, 22, 23, 25divsubdird 10092 . . . . . 6
277, 21resubcld 9722 . . . . . . . 8
2827recnd 9358 . . . . . . 7
2928, 23, 25divrecd 10056 . . . . . 6
3020recnd 9358 . . . . . . . . 9
31 2cnd 10340 . . . . . . . . 9
32 2ne0 10360 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
3430, 31, 23, 33, 25divdiv32d 10078 . . . . . . . 8
3523sqvald 11946 . . . . . . . . . . 11
3635oveq1d 6076 . . . . . . . . . 10
3723, 23, 25divcan3d 10058 . . . . . . . . . 10
3836, 37eqtrd 2454 . . . . . . . . 9
3938oveq1d 6076 . . . . . . . 8
4034, 39eqtrd 2454 . . . . . . 7
4140oveq2d 6077 . . . . . 6
4226, 29, 413eqtr3rd 2463 . . . . 5
4342mpteq2dva 4353 . . . 4
4424rprecred 10983 . . . . 5
4518ex 427 . . . . . . 7
4645ssrdv 3339 . . . . . 6
47 eqid 2422 . . . . . . . . 9
4847logdivsum 22523 . . . . . . . 8
4948simp2i 983 . . . . . . 7
50 rlimdmo1 13036 . . . . . . 7
5149, 50mp1i 12 . . . . . 6
5246, 51o1res2 12982 . . . . 5
53 divlogrlim 21821 . . . . . 6
54 rlimo1 13035 . . . . . 6
5553, 54mp1i 12 . . . . 5
5627, 44, 52, 55o1mul2 13043 . . . 4
5743, 56eqeltrd 2496 . . 3
588, 23, 25divcld 10053 . . . . 5
5923halfcld 10515 . . . . 5
6058, 59subcld 9665 . . . 4
61 elfznn 11422 . . . . . . . . . . . 12
6261adantl 456 . . . . . . . . . . 11
63 vmacl 22197 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10
6564, 62nndivred 10316 . . . . . . . . 9
6618adantr 455 . . . . . . . . . . 11
6762nnrpd 10971 . . . . . . . . . . 11
6866, 67rpdivcld 10989 . . . . . . . . . 10
6968relogcld 21813 . . . . . . . . 9
7065, 69remulcld 9360 . . . . . . . 8
711, 70fsumrecl 13152 . . . . . . 7
7271recnd 9358 . . . . . 6
7324rpcnd 10974 . . . . . 6
7472, 73, 25divcld 10053 . . . . 5
7573halfcld 10515 . . . . 5
7674, 75subcld 9665 . . . 4
7758, 74, 59nnncan2d 9700 . . . . . . 7
788, 72, 23, 25divsubdird 10092 . . . . . . 7
79 fzfid 11736 . . . . . . . . . . . 12
8064adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
8162adantr 455 . . . . . . . . . . . . . 14
82 elfznn 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382adantl 456 . . . . . . . . . . . . . 14
8481, 83nnmulcld 10315 . . . . . . . . . . . . 13
8580, 84nndivred 10316 . . . . . . . . . . . 12
8679, 85fsumrecl 13152 . . . . . . . . . . 11
8786recnd 9358 . . . . . . . . . 10
8870recnd 9358 . . . . . . . . . 10
891, 87, 88fsumsub 13195 . . . . . . . . 9
9064recnd 9358 . . . . . . . . . . . . 13
9162nncnd 10284 . . . . . . . . . . . . 13
9262nnne0d 10312 . . . . . . . . . . . . 13
9390, 91, 92divcld 10053 . . . . . . . . . . . 12
9483nnrecred 10313 . . . . . . . . . . . . . 14
9579, 94fsumrecl 13152 . . . . . . . . . . . . 13
9695recnd 9358 . . . . . . . . . . . 12
9769recnd 9358 . . . . . . . . . . . 12
9893, 96, 97subdid 9746 . . . . . . . . . . 11
9990adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10091adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10183nncnd 10284 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10292adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10383nnne0d 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10499, 100, 101, 102, 103divdiv1d 10084 . . . . . . . . . . . . . . 15
10599, 100, 102divcld 10053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105, 101, 103divrecd 10056 . . . . . . . . . . . . . . 15
107104, 106eqtr3d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14
108107sumeq2dv 13121 . . . . . . . . . . . . 13
109101, 103reccld 10046 . . . . . . . . . . . . . 14
11079, 93, 109fsummulc2 13191 . . . . . . . . . . . . 13
111108, 110eqtr4d 2457 . . . . . . . . . . . 12
112111oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
11398, 112eqtr4d 2457 . . . . . . . . . 10
114113sumeq2dv 13121 . . . . . . . . 9
115 vmasum 22296 . . . . . . . . . . . . . . 15
1163, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
117116oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . . 13
118 fzfid 11736 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 sgmss 22185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1203, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
121 ssfi 7492 . . . . . . . . . . . . . . 15
122118, 120, 121syl2anc 646 . . . . . . . . . . . . . 14
1233nncnd 10284 . . . . . . . . . . . . . 14
124 ssrab2 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125 simprr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126124, 125sseldi 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127126, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128127recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128anassrs 633 . . . . . . . . . . . . . 14
1303nnne0d 10312 . . . . . . . . . . . . . 14
131122, 123, 129, 130fsumdivc 13193 . . . . . . . . . . . . 13
132117, 131eqtr3d 2456 . . . . . . . . . . . 12
133132sumeq2dv 13121 . . . . . . . . . . 11
134 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . 12
1352ad2antrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14
136135nncnd 10284 . . . . . . . . . . . . 13
137135nnne0d 10312 . . . . . . . . . . . . 13
138128, 136, 137divcld 10053 . . . . . . . . . . . 12
139134, 10, 138dvdsflsumcom 22269 . . . . . . . . . . 11
140133, 139eqtrd 2454 . . . . . . . . . 10
141140oveq1d 6076 . . . . . . . . 9
14289, 114, 1413eqtr4rd 2465 . . . . . . . 8
143142oveq1d 6076 . . . . . . 7
14477, 78, 1433eqtr2d 2460 . . . . . 6
145144mpteq2dva 4353 . . . . 5
146 1red 9347 . . . . . . 7
1471, 65fsumrecl 13152 . . . . . . . . 9
148147, 24rerpdivcld 10999 . . . . . . . 8
149 ioossre 11302 . . . . . . . . . . 11
150 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . . 11
151 o1const 13038 . . . . . . . . . . 11
152149, 150, 151mp2an 657 . . . . . . . . . 10
153152a1i 11 . . . . . . . . 9
154148recnd 9358 . . . . . . . . . 10
15512rpcnd 10974 . . . . . . . . . 10
156147recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . 14
157156, 23, 23, 25divsubdird 10092 . . . . . . . . . . . . 13
158156, 23subcld 9665 . . . . . . . . . . . . . 14
159158, 23, 25divrecd 10056 . . . . . . . . . . . . 13
16023, 25dividd 10051 . . . . . . . . . . . . . 14
161160oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . 13
162157, 159, 1613eqtr3rd 2463 . . . . . . . . . . . 12
163162mpteq2dva 4353 . . . . . . . . . . 11
164147, 19resubcld 9722 . . . . . . . . . . . 12