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Theorem vmalogdivsum2 23187
Description: The sum sum_ x, ( ) (x ) is asymptotic to 2(x) 2 O( x). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem vmalogdivsum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11940 . . . . . . . . 9
2 elfznn 11623 . . . . . . . . . . . . 13
32adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
43nnrpd 11165 . . . . . . . . . . 11
54relogcld 22472 . . . . . . . . . 10
65, 3nndivred 10508 . . . . . . . . 9
71, 6fsumrecl 13369 . . . . . . . 8
87recnd 9549 . . . . . . 7
9 elioore 11469 . . . . . . . . . . . . 13
109adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
11 1rp 11134 . . . . . . . . . . . . 13
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
13 1red 9538 . . . . . . . . . . . . 13
14 eliooord 11494 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 10, 16ltled 9659 . . . . . . . . . . . 12
1810, 12, 17rpgecld 11201 . . . . . . . . . . 11
1918relogcld 22472 . . . . . . . . . 10
2019resqcld 12191 . . . . . . . . 9
2120rehalfcld 10709 . . . . . . . 8
2221recnd 9549 . . . . . . 7
2319recnd 9549 . . . . . . 7
2410, 16rplogcld 22478 . . . . . . . 8
2524rpne0d 11171 . . . . . . 7
268, 22, 23, 25divsubdird 10283 . . . . . 6
277, 21resubcld 9913 . . . . . . . 8
2827recnd 9549 . . . . . . 7
2928, 23, 25divrecd 10247 . . . . . 6
3020recnd 9549 . . . . . . . . 9
31 2cnd 10532 . . . . . . . . 9
32 2ne0 10552 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
3430, 31, 23, 33, 25divdiv32d 10269 . . . . . . . 8
3523sqvald 12162 . . . . . . . . . . 11
3635oveq1d 6237 . . . . . . . . . 10
3723, 23, 25divcan3d 10249 . . . . . . . . . 10
3836, 37eqtrd 2495 . . . . . . . . 9
3938oveq1d 6237 . . . . . . . 8
4034, 39eqtrd 2495 . . . . . . 7
4140oveq2d 6238 . . . . . 6
4226, 29, 413eqtr3rd 2504 . . . . 5
4342mpteq2dva 4495 . . . 4
4424rprecred 11177 . . . . 5
4518ex 434 . . . . . . 7
4645ssrdv 3476 . . . . . 6
47 eqid 2454 . . . . . . . . 9
4847logdivsum 23182 . . . . . . . 8
4948simp2i 998 . . . . . . 7
50 rlimdmo1 13253 . . . . . . 7
5149, 50mp1i 12 . . . . . 6
5246, 51o1res2 13199 . . . . 5
53 divlogrlim 22480 . . . . . 6
54 rlimo1 13252 . . . . . 6
5553, 54mp1i 12 . . . . 5
5627, 44, 52, 55o1mul2 13260 . . . 4
5743, 56eqeltrd 2542 . . 3
588, 23, 25divcld 10244 . . . . 5
5923halfcld 10707 . . . . 5
6058, 59subcld 9856 . . . 4
61 elfznn 11623 . . . . . . . . . . . 12
6261adantl 466 . . . . . . . . . . 11
63 vmacl 22856 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10
6564, 62nndivred 10508 . . . . . . . . 9
6618adantr 465 . . . . . . . . . . 11
6762nnrpd 11165 . . . . . . . . . . 11
6866, 67rpdivcld 11183 . . . . . . . . . 10
6968relogcld 22472 . . . . . . . . 9
7065, 69remulcld 9551 . . . . . . . 8
711, 70fsumrecl 13369 . . . . . . 7
7271recnd 9549 . . . . . 6
7324rpcnd 11168 . . . . . 6
7472, 73, 25divcld 10244 . . . . 5
7573halfcld 10707 . . . . 5
7674, 75subcld 9856 . . . 4
7758, 74, 59nnncan2d 9891 . . . . . . 7
788, 72, 23, 25divsubdird 10283 . . . . . . 7
79 fzfid 11940 . . . . . . . . . . . 12
8064adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
8162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
82 elfznn 11623 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
8481, 83nnmulcld 10507 . . . . . . . . . . . . 13
8580, 84nndivred 10508 . . . . . . . . . . . 12
8679, 85fsumrecl 13369 . . . . . . . . . . 11
8786recnd 9549 . . . . . . . . . 10
8870recnd 9549 . . . . . . . . . 10
891, 87, 88fsumsub 13413 . . . . . . . . 9
9064recnd 9549 . . . . . . . . . . . . 13
9162nncnd 10476 . . . . . . . . . . . . 13
9262nnne0d 10504 . . . . . . . . . . . . 13
9390, 91, 92divcld 10244 . . . . . . . . . . . 12
9483nnrecred 10505 . . . . . . . . . . . . . 14
9579, 94fsumrecl 13369 . . . . . . . . . . . . 13
9695recnd 9549 . . . . . . . . . . . 12
9769recnd 9549 . . . . . . . . . . . 12
9893, 96, 97subdid 9937 . . . . . . . . . . 11
9990adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10091adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10183nncnd 10476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10292adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10383nnne0d 10504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10499, 100, 101, 102, 103divdiv1d 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15
10599, 100, 102divcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105, 101, 103divrecd 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15
107104, 106eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
108107sumeq2dv 13338 . . . . . . . . . . . . 13
109101, 103reccld 10237 . . . . . . . . . . . . . 14
11079, 93, 109fsummulc2 13409 . . . . . . . . . . . . 13
111108, 110eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12
112111oveq1d 6237 . . . . . . . . . . 11
11398, 112eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10
114113sumeq2dv 13338 . . . . . . . . 9
115 vmasum 22955 . . . . . . . . . . . . . . 15
1163, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
117116oveq1d 6237 . . . . . . . . . . . . 13
118 fzfid 11940 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 sgmss 22844 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1203, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
121 ssfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15
122118, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
1233nncnd 10476 . . . . . . . . . . . . . 14
124 ssrab2 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126124, 125sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127126, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128127recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14
1303nnne0d 10504 . . . . . . . . . . . . . 14
131122, 123, 129, 130fsumdivc 13411 . . . . . . . . . . . . 13
132117, 131eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12
133132sumeq2dv 13338 . . . . . . . . . . 11
134 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . 12
1352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14
136135nncnd 10476 . . . . . . . . . . . . 13
137135nnne0d 10504 . . . . . . . . . . . . 13
138128, 136, 137divcld 10244 . . . . . . . . . . . 12
139134, 10, 138dvdsflsumcom 22928 . . . . . . . . . . 11
140133, 139eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10
141140oveq1d 6237 . . . . . . . . 9
14289, 114, 1413eqtr4rd 2506 . . . . . . . 8
143142oveq1d 6237 . . . . . . 7
14477, 78, 1433eqtr2d 2501 . . . . . 6
145144mpteq2dva 4495 . . . . 5
146 1red 9538 . . . . . . 7
1471, 65fsumrecl 13369 . . . . . . . . 9
148147, 24rerpdivcld 11193 . . . . . . . 8
149 ioossre 11496 . . . . . . . . . . 11
150 ax-1cn 9477 . . . . . . . . . . 11
151 o1const 13255 . . . . . . . . . . 11
152149, 150, 151mp2an 672 . . . . . . . . . 10
153152a1i 11 . . . . . . . . 9
154148recnd 9549 . . . . . . . . . 10
15512rpcnd 11168 . . . . . . . . . 10
156147recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14
157156, 23, 23, 25divsubdird 10283 . . . . . . . . . . . . 13
158156, 23subcld 9856 . . . . . . . . . . . . . 14
159158, 23, 25divrecd 10247 . . . . . . . . . . . . 13
16023, 25dividd 10242 . . . . . . . . . . . . . 14
161160oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . 13
162157, 159, 1613eqtr3rd 2504 . . . . . . . . . . . 12
163162mpteq2dva 4495 . . . . . . . . . . 11
164147, 19resubcld 9913 . . . . . . . . . . . 12